Коллинеаций. Инверсия

2. Инверсия
Определение. Пусть в плоскости дана окружность с центром в точке радиуса (рис. 1). Точечное преобразование плоскости самой в себя, при котором каждой точке ставится в соответствие точка ', лежащая на луче и удовлетворяющая условию | | · | '| = ², называется инверсией относительно данной окружности.
Точка ' называется инверсной или обратной точке относительно данной окружности.
Эта окружность называется основной окружностью или  окружностью инверсии.
Её центр - называется центром инверсии.
Её радиус – радиусом инверсии.
А квадрат радиуса – степенью инверсии.

рис.1
Точки и ', соответствующие друг другу в инверсии, а также две фигуры, соответствующие друг другу в инверсии, называются взаимно обратными относительно основной окружности.

Преобразование, при котором каждой точке некоторой фигуры ставится в соответствие инверсная ей точка, называется инверсией, а фигура, образованная всеми точками, инверсными точкам данной фигуры, называется инверсной по отношению к данной фигуре.
Обратим внимание на то, что при . Так что, если точка инверсна точке ', то расстояния и являются взаимно обратными числами. С этим связано то, что точку называют обратной точке , а рассматриваемое преобразование называется преобразованием обратных радиусов (расстояний), или же обращением.
В пределах плоскости можно выполнить построение точи, инверсной данной, посредством циркуля и линейки. Построение это основано на двух теоремах, известных из школьного курса геометрии:
1) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, соединяющему центр с точкой касания.
2) Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией данного катета на гипотенузу.
Рассмотрим следующие случаи построение инверсных точек:
1 случай.
Если точка лежит на базисной окружности – , то инверсная точка – сама точка , то есть (совпадают).
2 случай.
Пусть точка внутри базисной окружности . На рис. 2 указан способ построения образа точки при инверсии относительно окружности . Для этого проводят перпендикуляр к прямой и из точки пересечения окружности и перпендикуляра проводят касательную к этой окружности.
Рис. 2

Доказательство: Из подобия треугольников и получаем отношение = или

= = . Следовательно, inv_O^R .
Точка (по построению).
3 случай.
Пусть точка вне базисной окружности . Строим луч . Через точку проводим касательную к базисной окружности. Из точки касания опускаем перпендикуляр на прямую . Основание этого перпендикуляра является точкой, инверсной точке . Из прямоугольного треугольника (рис.3) видно, что .



Рис. 3