|
Применение в технике: прямило Липкина-Поселье
Долгое время задача преобразования кругового (вращательного) движения в прямолинейное оставалась весьма сложной в машиностроении, удавалось находить в лучшем случае приближённые решения. И лишь в 1864 г. офицер инженерного корпуса французской армии Шарль Никола Поселье (Charles-Nicolas Peaucellier) и в 1868 г. студент Чебышёва Липман Липкин (Lipman Lipkin) изобрели это устройство, основанное на идее геометрической инверсии.
Устройство получило название "прямило Липкина-Поселье" (Peaucellier–Lipkin linkage).
Чтобы понять работу устройства, отметим на нём несколько точек:
Точка совершает вращательное движение по окружности (красного цвета), в результате чего точка необходимо движется по прямой (синего цвета). Наша задача — доказать, что точка — суть инверсия точки относительно центра с некоторым радиусом .
Формализуем условие задачи: что точка жёстко закреплена, отрезки и совпадают, и также совпадает четвёрка отрезков , , , . Точка движется вдоль окружности, проходящей через точку .
Для доказательства заметим вначале, что точки , и лежат на одной прямой (это следует из равенства треугольников). Обозначим через точку пересечения отрезков и . Введём обозначения:
Нам нужно показать, что величина :
.
По теореме Пифагора получаем:
Возьмём разность этих двух величин:
Таким образом, мы доказали, что , что и означает, что — инверсия точки .
Применение инверсии (в точке-середине доски) к изображению шахматной доски даёт интересную картинку (справа):
7. Заключение
Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника.
Задачи на построение, решаемые с помощью инверсии обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Такие задачи удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащиеся приобретают много полезных чертежных навыков.
В данной работе было рассмотрено понятие инверсии как метода, с помощью которого решаются некоторые задачи на построение, рассмотрены основные свойства и теоремы, на которые опирается данный метод. Также рассмотрена задача Аполлония, решение которой является основой метода инверсии, приведены примеры решения задач на построение с помощью инверсии, проанализированы сферы применения инверсии и способы её построения.
Из свойств видно, что окружности и прямые равноправны. Если условиться считать прямую линию окружностью «бесконечно большого радиуса», то перечисленные свойства означают, что при инверсии окружность всегда переходит в окружность. Инверсия же относительно окружности «бесконечно большого радиуса» (то есть относительно прямой линии) совпадает с обычной симметрией относительно прямой.
Одним из широко распространенных в современной математике понятий является понятие алгоритма. Изучение геометрических построений является хорошим средством подготовки к усвоению этого понятия. Действительно, цель решения каждой геометрической задачи как раз и состоит в получении некоторого алгоритма. Разрешимость геометрической задачи на построение понимается именно как алгоритмическая разрешимость. Весьма поучительно рассмотрение задач, связанных с доказательством невозможности выполнения какого-либо построения данными средствами, так как вопросы разрешимости той или иной задачи при тех или иных допущениях встречающихся в самых различных разделах математики. Геометрические построения играют также особую роль, как средство доказательства существования геометрической фигуры обладающей указанными свойствами. Геометрические построения составляют также теоретическую основу практической графики.
Данная тема, на мой взгляд, подходит к проведению факультативных занятий по геометрии в 7 классе, так как в 7 классе изучаются основные моменты планиметрии, которые необходимо знать для решения задач на построение, но при этом следует для начала провести курс по изучению темы инверсии.. Это имеет место, так как в это время лучше всего нужно развивать мыслительную деятельность учеников, учить ребят доказывать, размышлять, развивать основные навыки, необходимые для дальнейшего лучшего усвоения геометрии. Но это важно еще и потому, что на решение таких задач в курсе планиметрии практически нет времени. В процессе изучения усваиваются понятия и приобретаются некоторые навыки, имеющие значения и за пределами этого вопроса.
Список литературы
Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. Ч. 2. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. – 240 с.
Вавилов В. Геометрия круга – с. 38-42.
Костовский А. Н. геометрические построения одним циркулем на плоскости и одним лишь сферографом в пространстве. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – с. 28-39.
А. Адлер, Теория геометрических построений, М., Учпедгиз, 1940;
Б. И. Аргунов, М. Б. Балк, Геометрические построения на плоскости, изд. 2, Учпедгиз, 1957;
Н. Ф. Четверухин, Методы геометрических построений, М., Учпедгиз, 1952;
Б. И. Аргунов, М. Б. Балк, Элементарная геометрия, М., Просвещение, 1966;
А. В. Погорелов, Геометрия, изд.2, М., Наука, 1984;
И. Я. Бакельман, Инверсия;
С. Л. Певзнер, Инверсия и ее приложения, Хабаровск, 1988;
И. М. Яглом, Геометрические преобразования, Т.П.М., Гостехиздат, 1956;
Д. И. Перепелкин, Курс элементарной геометрии, И.Г.М., Гостехиздат, 1948;
Б.В. Кутузов, Геометрия. Пособие для учительских и педагогических институтов, М., Учпедгиз, 1950;
П. С. Моденов, А. С. Пархоменко, Геометрические преобразования, М., изд. ПГУ, 1961;
И. И. Александров, Сборник геометрических задач на построение, М., Учпедгиз, 1957;
13. В.В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии, М., Наука, 1989;
14. Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом, Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (планиметрия) ч. 2, М., Учпедгиз, 1958;
15. Л. С. Атанасян, Т. Б. Гуревич и др., Сборник задач по элементарной геометрии, М., Учпедгиз, 1958.
Do'stlaringiz bilan baham: |
