Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней 25. 12. 2011

Z



c

b

a

,

,

  –  заданные  числа,  а 

Z



m

n,

 – искомые неизвестные 

Уравнение  (1)  имеет  решение  тогда  и 

только  тогда,  когда 

c   делится  на  НОД 

чисел 

a   и 

b

.  Так,  например,  уравнение 

17

8

2



 n

m

  не  имеет  решений  в  целых 

числах,  так  как  17  не  делится  на  2  (наи-

больший общий делитель чисел 2 и 8).  

Покажем, как ищется решение уравне-

ния (1). Рассмотрим уравнение  

.

4

8

5



 m

n

 

(2) 

Выбираем  неизвестную,  коэффициент 

при  которой  меньше  по  абсолютной  ве-

личине, – в нашем случае это 

n . Выража-

ем ее через другую неизвестную 

.

5

1

3

1

5

4

8













m

m

m

n

 

Целые  решения  уравнения  (2)  будут  су-

ществовать, когда число 

5

1

3 

m

 будет це-

лым.  

Обозначим его буквой 

p

, тогда  

p

m





5

1

3

 или 

1

5

3



 p

m

. 

Проделав  с  последним  уравнением  те  же 

действия,  что  и  с  исходным,  получим 

3

1

2

3

1

5











p

p

p

m

.  Для  существова-

ния целых решений число 

3

1

2 

p

 должно 

быть целым. Обозначим его буквой  t , то-

гда  

t

p





3

1

2

 или 

1

3

2



 t

p

. 

Отсюда 

2

1

2

1

3











t

t

t

p

.  Последнее 

равенство возможно в целых числах, если 

1

2 

 k

t

, 

Z



k

. 

Теперь,  чтобы  получить  решение 

уравнения (2), нужно выразить 

m

p,

 и 

n  

через 

k

.  Выполняя  соответствующие 

подстановки, имеем  

1

3

2

2

6

2

1

3













k

k

t

p

, 

2

5

3

6

15

3

1

5













k

k

p

m

, 

4

8

5

20

40

5

4

8













k

m

m

n

. 

Итак,  целыми  решениями  уравнения 

(2)  являются  пары  чисел 

)

,

(

m

n

  вида 

4

8 

 k

n

, 

2

5 

 k

m

 при любом 

Z



k

. 

Замечание.  Представленный  метод 

практически  повторяет  известный  алго-

ритм  Евклида  для  нахождения  наи-

большего  общего  делителя  двух  целых 

чисел. 

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

9 

1. Способы отбора корней  

в тригонометрических уравнениях 

Для  раскрытия  способов  отбора  кор-

ней  рассмотрим  простейшие  тригономет-

рические  уравнения  и  системы  (совокуп-

ности),  содержащие  простейшие  триго-

нометрические уравнения и неравенства. 

1.1. Арифметический способ 

Рассмотрим  примеры,  в  которых  ис-

пользуется  арифметический  способ отбо-

ра корней.  

непосредственная подстановка корней 

в уравнение и имеющиеся ограничения 

В  случае  непосредственной  подста-

новки  серий  полученных  решений  для 

удаления  «посторонних»  решений  полез-

ным  оказывается  использование  формул 

приведения. В частности, 





















,

1

2

при

,

sin

,

2

при

,

sin

)

sin(

n

k

x

n

k

x

k

x

Z



n

; 





















,

1

2

при

,

cos

,

2

при

,

cos

)

cos(

n

k

x

n

k

x

k

x

Z



n

; 

,

tg

)

(

tg

x

k

x







 

,

2

n

x









Z



n

; 

,

ctg

)

(

ctg

x

k

x







 

,

n

x





Z



n

. 

Пример  10.  Найти  корни  уравнения 

5

,

0

cos 

x

, 

удовлетворяющие 

неравенству 

0

sin



x

. 

Решение.  Из  уравнения 

5

,

0

cos 

x

 по-

лучаем 

n

x









2

3

,  или 

,

2

3

n

x











 

Z



n

. 

Проверим для полученных значений 

x  

выполнение условия 

0

sin



x

. Для первой 

серии получаем  

0

2

3

3

sin

2

3

sin















 





















n

. 

Следовательно,  первая  серия  является 

«посторонней». Для второй серии получа-

ем 

0

2

3

3

sin

2

3

sin

















 

























n

. 

Ответ: 

Z











n

n,

2

3

. 

Пример  11.  Найти  корни  уравнения 

3

tg 

x

, удовлетворяющие неравенству 

0

sin



x

. 

Решение.  Из  уравнения 

3

tg 

x

  по-

лучим 

,

3

k

x









 

Z



k

. Отберем из по-

лученных  решений  те  значения 

x ,  для 

которых 

0

sin



x

. Подставляя 

k

x









3

 

в 

это 

неравенство, 

находим: 

2

3

2

3

sin





















n

  при 

n

k

2



, 

Z



n

,  и 

2

3

3

4

sin























n

 

при 

1

2 

 n

k

, 

Z



n

.  Следовательно,  корни  исходного 

уравнения  вида 

,

2

3

4

n







 

Z



n

  удовле-

творяют условию. 

Ответ: 

,

2

3

4

n







Z



n

. 

Пример  12.  Найти  решения  совокуп-

ности уравнений 















,

2

1

sin

,

1

sin

x

x

 

удовлетворяющие неравенству 

0

ctg 

x

. 

Решение. Из совокупности имеем  

 

































,

6

1

,

2

2

n

x

n

x

n

Z



n

. 

Отберем  значения 

x

,  удовлетворяю-

щие условию 

0

ctg 

x

. 

Для  решений  первой  серии  получаем 

0

2

2

ctg























n

,  следовательно,  усло-

вие 

0

ctg 

x

 выполнено. 

Для корней второй серии  









































6

)

1

(

ctg

6

)

1

(

ctg

n

n

n











нечетно.

 

если

 ,

3

четно,

 

если

 ,

3

n

n

 

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

10 

Таким  образом,  условие 

0

ctg 

x

  выпол-

нено  только  для  четных  значений 

n ,  т.е. 

,

2m

n 

 

Z



m

. Тогда 

m

x









2

6

. 

Ответ: 

n









2

2

, 

2

,

6

n n



 

 Z . 

Обобщением  предыдущих  подстано-

вок  является  рассмотрение  множества 

значений целых чисел для параметра при 

разбиение  его  на  три  и  более  подмно-

жеств. 

Пример  13.  Найти  корни  уравнения 

1

=

3

sin x

,  удовлетворяющие  неравенству 

0

cos 

x

. 

Решение.  Уравнение 

1

=

3

sin x

  имеет 

корни 

,

3

2

6

=

n

x







 

Z



n

. Так как функ-

ции 

x

3

sin

 и 

x

cos  имеют общий наимень-

ший  положительный  период 



2

,  то  для 

проверки  неравенства 

0

3

2

6

cos





















n

 

достаточно  рассмотреть  значения  0,  1,  2 

для  параметра 

n   (пройти  круг).  Так  как 

0

6

cos





  и 

0

2

3

cos





,  то  получаем 

корни 

n

x









2

6

 и 

n

x









2

2

3

, 

Z



n

, 

удовлетворяющие данному условию.  

Ответ. 

n







2

6

, 

n







2

2

3

, 

Z



n

. 

перебор значений целочисленного  

параметра и вычисление корней  

Перебор  значений  целочисленного  па-

раметра и вычисление корней приходится 

выполнять  в  случаях,  когда  требуется 

отобрать  корни,  принадлежащие  задан-

ному  промежутку  или  некоторому  усло-

вию. 

Пример 14. Решить систему: 











.

0

cos

,

0

3

sin

x

x

 

Решение.  Общий  наименьший  поло-

жительный  период  функций 

x

cos   и 

x

3

sin

  равен 



2

.  Поэтому  достаточно 

рассмотреть  решения  системы  на  проме-

жутке 

)

2

;

0

[

 . 

Из  уравнения 

0

3

sin



x

  получаем 

3

k

x





, 

.

Z



k

  Подставляя  поочередно 

значения 0, 1, 2, 3, 4, 5 для переменной 

k

, 

найдем корни 0, 

3



, 

3

2

, 

 , 

3

4

 и 

3

5

, со-

держащиеся  на  промежутке 

)

2

;

0

[

 .  Сре-

ди полученных решений отбираем те, для 

которых 

справедливо 

неравенство 

0

cos 

x

.  Остаются  числа  0, 

3



  и 

3

5

. 

Следовательно,  исходная  система  имеет 

множество 

решений 

вида 

,

n

x





 

n

x









2

3

, 

n

x









2

3

5

, 

Z



n

 

Ответ: 

,

n

x





 

n

x











2

3

, 

Z



n

. 

Пример 15. Решить систему: 

























0

3

cos

5

,

0

sin

,

0

2

sin

x

x

x

. 

Решение.  Из  совокупности  уравнений 

имеем 













5

,

0

sin

,

0

2

sin

x

x

  









































,

2

6

7

,

2

6

,

2

m

x

l

x

k

x

 

.

,

,

Z



m

l

k

 

Общий  наименьший  положительный 

период  функций 

x

sin

, 

,

3

cos x  

x

2

sin

  ра-

вен 



2

. Поэтому достаточно рассмотреть 

решения системы на промежутке 

)

2

;

0

[

 . 

На  промежутке 

)

2

;

0

[

   содержатся 

корни 0, 

2



, 

 , 

2

3

, 

6

7

, 

6

11

. Из условия 

0

3

cos



x

  получаем 

,

,

3

6

Z











n

n

x

  а 

на  промежутке 

)

2

;

0

[

  

,

6





x

 

,

2





x

 

,

6

5



x

 

,

6

7



x

 

,

2

3



x

.

6

11



x

  Таким 

образом, остались  числа  0  и 

 ,  а  значит, 

исходная  система  имеет  множество  ре-

шений вида 

.

,

Z







t

t

x

 

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней

 

25.12.2011 

www.alexlarin.net

 

11 

Ответ: 

.

,

Z



 t

t

 

1.2. Алгебраический способ 

Алгебраический  способ отбора  корней 

наиболее удобен в тех случаях, когда по-

следовательный  перебор  значений  пара-

метров  приводит  к  вычислительным 

трудностям,  промежуток  для  отбора  кор-

ней  большой,  значения  обратных  триго-

нометрических  функций,  входящих  в  се-

рии решений, не являются табличными, и 

при  решении  задач  с  дополнительными 

условиями. 

решение неравенства относительно  

неизвестного целочисленного 

параметра и вычисление корней 

Пример  16.  Найти  все  решения  сово-

купности  уравнений 











5

,

0

sin

0

cos

x

x

,  принад-

лежащие промежутку 



















4

3

;

. 

Решение. 

1. 

0

cos 

x

,