Kvant maydon nazariyasi (qft) fizikaning cheksiz ko'p erkinlik darajasiga EGA kvant tizimlarining xatti-harakatlarini o'rganadigan bo'limi kvant maydonlari

2. Erkin maydonlar va to'lqin-zarralar ikkiligi Yuqorida ko'rsatilgan umumiy jismoniy muvofiq. tizimli rasm QFT taqdimotini ham maydon, ham korpuskulyar tasvirlardan boshlash mumkin. Dala yondashuvida birinchi navbatda mos keladigan klassik nazariyani qurish kerak maydon, keyin uni kvantlashtirishga [e-mag kvantlashiga o'xshash. maydonlari V. Heisenberg va V. Pauli tomonidan] va nihoyat, natijada kvantlangan maydon uchun korpuskulyar talqinni ishlab chiqing. Bu erda asosiy dastlabki tushuncha maydon bo'ladi va a(X) (indeks a maydon komponentlarini sanab o'tadi) har bir fazo-vaqt nuqtasida aniqlangan x=(ct,x) va to-lni amalga oshirish. Lorentz guruhining juda oddiy vakili. Keyingi nazariya eng oddiy yordami bilan tuzilgan Lagranj rasmiyatchiligi; mahalliyni tanlang [ya'ni. e. faqat maydon komponentlariga bog'liq va a(X) va ularning birinchi hosilalari d m va a(X)=du a /dx m = va a m ( X) (m=0, 1, 2, 3) bir nuqtada X] kvadratik Puankare-invariant (qarang Puankare guruhi) Lagrangian L(x) = L(u a , q m u b) va dan eng kam harakat tamoyili harakat tenglamalarini oling. Kvadrat Lagrangian uchun ular chiziqli - erkin maydonlar superpozitsiya tamoyilini qondiradi. tufayli Noeter teoremasi Har bir bitta parametrga nisbatan S harakatning o'zgarmasligidan. guruh birining saqlanishiga (vaqtning mustaqilligi) amal qiladi, bu teorema bilan aniq ko'rsatilgan, integral funktsiyasi va a va d m u b. Puankare guruhining o'zi 10 parametrli bo'lganligi sababli, QFT majburiy ravishda 10 miqdorni saqlab qoladi, bu ba'zan fundams deb ataladi. dinamik miqdorlar: to'rt o'lchovli fazo-vaqtdagi to'rt siljish ostida o'zgarmaslikdan energiya-momentum vektorining to'rt komponentining saqlanishidan kelib chiqadi. R m M i = 1/2 E ijk M jk va uchtasi. kuchaytiradi N i =c - l M 0i(i, j, k= 1, 2, 3, E ijk- bitta to'liq antisimmetrik tensor; ikki marta uchraydigan indekslar yig'indini bildiradi). Onam bilan. nuqtai o'n funt. qadriyatlar - R m, M i, N i- mohiyat guruh generatorlari Puankare. Agar harakat o'zgarmas bo'lib qolsa va ko'rib chiqilayotgan sohada amalga oshirilganda Puankare guruhiga kirmaydigan boshqa uzluksiz o'zgarishlar - ext ning transformatsiyalari. simmetriya, - Noeter teoremasidan keyin yangi saqlangan dinamikaning mavjudligi. miqdorlar. Shunday qilib, ko'pincha maydon funktsiyalari murakkab deb taxmin qilinadi va Lagrangianga germitlik sharti qo'yiladi (qarang. Hermit operatori) va globalga nisbatan harakatning o'zgarmasligini talab qiladi o'lchov transformatsiyasi(faza a ga bog'liq emas X) va a(X)""e i a va a(X), u* a(X)""e - i a u* a(X). Keyin (Noeter teoremasi natijasida) zaryad saqlanib qolganligi ma'lum bo'ladi

Shuning uchun, murakkab funktsiyalar va a zaryadni tavsiflash uchun ishlatilishi mumkin. dalalar. Xuddi shu maqsadga indekslar bosib o'tgan qiymatlar doirasini kengaytirish orqali erishish mumkin a, shuning uchun ular izotopdagi yo'nalishni ham ko'rsatadi. fazo va undagi aylanishlar ostida harakatning o'zgarmas bo'lishini talab qiladi. E'tibor bering, Q zaryadi elektr bo'lishi shart emas. zaryad bo'lsa, u Puankare guruhiga aloqador bo'lmagan maydonning har qanday saqlanib qolgan xarakteristikasi bo'lishi mumkin, masalan, lepton soni, g'alatilik, barion soni va h.k. Kanonik kvantlash, kvant mexanikasining umumiy tamoyillariga ko'ra, umumlashtirilgan koordinatalar [ya'ni. e. (cheksiz) barcha maydon komponentlarining qiymatlari to'plami u 1 , . . ., u N barcha nuqtalarda x vaqtning ma'lum bir nuqtasida bo'sh joy t(yana murakkab taqdimotda - ba'zi bir fazoga o'xshash gipersurfacelarning barcha nuqtalarida] va umumiy moment p b(x, t)=dL/du b(x, t) tizimning holati (holat vektori) amplitudasi bo'yicha harakat qiluvchi operatorlar deb e'lon qilinadi va ularga kommutatsiya munosabatlari yuklanadi:

bundan tashqari, "+" yoki "-" belgilari Fermi - Dirac yoki Bose - Eynshteyn kvantlashiga mos keladi (pastga qarang). Bu erda d ab - Kronecker belgisi,d( x-y) - delta funktsiyasi Dirac. Vaqtning alohida roli va ma'lum bir ma'lumot doirasiga muqarrar murojaat qilish tufayli, almashtirish munosabatlari (1) makon va vaqtning aniq simmetriyasini buzadi va relativistik o'zgarmaslikni saqlash alohida talab qiladi. isboti. Bundan tashqari, munosabatlar (1) kommutatsiya haqida hech narsa aytmaydi. fazo-vaqt nuqtalarining vaqtga o'xshash juftliklarida maydonlarning xossalari - bunday nuqtalardagi maydonlarning qiymatlari sababiy bog'liqdir va ularning almashinuvini faqat (1) bilan birgalikda harakat tenglamalarini echish orqali aniqlash mumkin. Harakat tenglamalari chiziqli bo'lgan erkin maydonlar uchun bunday muammo umumiy shaklda echilishi mumkin va ikkita ixtiyoriy nuqtada maydonlarning o'rin almashish munosabatlarini, shuningdek, nisbiy nosimmetrik shaklda o'rnatishga imkon beradi. X va da.

Bu yerda D t - almashtirish funktsiyasi Pauli - Iordaniya qoniqarli Klein - Gordon tenglamasi P ab- harakat tenglamalarining o'ng tomonini (2) qondirishni ta'minlaydigan ko'phad. X va tomonidan da, - D-Alamber operatori, t maydon kvantining massasi (bundan buyon matnda h= birliklar tizimi bilan= 1). Erkin zarrachalarning relyativistik kvant tavsifiga korpuskulyar yondashuvda zarracha holat vektorlari Puankare guruhining qaytarilmas tasvirini hosil qilishi kerak. Ikkinchisi Casimir operatorlari (guruhning barcha o'nta generatorlari bilan ishlaydigan operatorlar) qiymatlarini o'rnatish orqali aniqlanadi. R m M i va N i), Puankare guruhida ikkitasi bor. Birinchisi, massa kvadrat operatori m 2 =R m R m . Da m 2 № 0, ikkinchi Casimir operatori oddiy (uch o'lchovli) spinning kvadrati va nol massada spiral operatori (spinning harakat yo'nalishi bo'yicha proyeksiyasi). Diapazon m 2 uzluksiz - massa kvadrati har qanday manfiy bo'lmagan bo'lishi mumkin. qiymatlar, m 20; Spin spektri diskret bo'lib, u butun yoki yarim butun qiymatlarga ega bo'lishi mumkin: 0, 1/2 , 1, ... Bundan tashqari, koordinata o'qlarining toq sonini aks ettirishda holat vektorining harakatini ham belgilash kerak. . Agar boshqa xususiyatlar talab qilinmasa, zarrachaning o'ziga xos qiymati yo'q deyiladi. erkinlik darajalari va deyiladi. haqiqiy neytral zarracha. Aks holda, zarrachada u yoki bu turdagi zaryadlar mavjud. Tasvir ichidagi zarrachaning holatini aniqlash uchun kvant mexanikasida kommutatsiya operatorlarining to'liq to'plamining qiymatlarini belgilash kerak. Bunday to'plamni tanlash noaniq; erkin zarracha uchun uning impulsining uchta komponentini olish qulay R va proyeksiya ortga qaytdi l s on to-l. yo'nalishi. Shunday qilib, bitta erkin haqiqiy neytral zarrachaning holati to'liq berilgan raqamlar bilan tavsiflanadi t, l s, p x, p y, p z, s, birinchi ikkitasi ko'rinishni, keyingi to'rttasi esa undagi holatni belgilaydi. Zaryadlash uchun. zarralar boshqalarga qo'shiladi; ularni t harfi bilan belgilaymiz. Kasb raqamlarini ko'rsatishda bir xil zarralar to'plamining holati belgilanadi. n p, s raqamlarini to'ldirish, t barcha bir zarrali holatlar (bir butun sifatida tasvirni tavsiflovchi indekslar yozilmagan). O'z navbatida davlat vektori | np,s, t > yaratish operatorlarining vakuum holatiga |0> (ya'ni, zarrachalar umuman bo'lmagan holat)dagi harakati natijasi sifatida yoziladi. a + (p, s, t):

Tug'ilish operatorlari a+ va uning Hermit konjugatini yo'q qilish operatorlari a - almashinish munosabatlarini qanoatlantiring

Bu erda "+" va "-" belgilari mos ravishda Fermi - Dirak va Bose - Eynshteyn kvantlashiga mos keladi va ishg'ol raqamlari mos keladi. zarralar soni uchun operatorlarning qiymatlari T. o., har birida kvant raqamlari bo'lgan bitta zarrachadan iborat tizimning holat vektori p 1 , s 1, t 1; p 2 , s 2, t2; . . ., deb yoziladi

Nazariyaning mahalliy xususiyatlarini hisobga olish uchun operatorlarni tarjima qilish kerak a b koordinatali tasvirga aylantiradi. Transformatsiya funktsiyasi sifatida klassikadan foydalanish qulay. tenzor (yoki spinor) indekslari bilan mos keladigan erkin maydonning harakat tenglamalarini yechish a va indeks ichki simmetriya q. Keyin koordinata ko'rinishidagi yaratish va yo'q qilish operatorlari:

Biroq, bu operatorlar mahalliy QFTni qurish uchun hali ham yaroqsiz: ularning kommutatori ham, antikommutatori ham Pauli-Jordaniya bo'lmagan funktsiyalarga proportsionaldir. D t, va uning ijobiy va salbiy chastota qismlari D 6 m(x-y)[Dm =D + m +D - m], bu fazoga o'xshash juft nuqtalar uchun X va da yo'qolmang. Mahalliy maydonni olish uchun yaratish va yo'q qilish operatorlarining superpozitsiyasini qurish kerak (5). Haqiqiy neytral zarralar uchun bu to'g'ridan-to'g'ri mahalliy Lorentz kovariant maydonini belgilash orqali amalga oshirilishi mumkin.