Лекции по дисциплине «эконометрика» (заочное отделение) Тема Основные понятия, предмет, методы и задачи эконометрики Определение эконометрики

4. Метод наименьших квадратов
Мы хотим найти уравнение вида , то есть, получить теоретические значения результативного признака Y, подставляя в него фактические значения X. Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены разными методами.
Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной X от расчетных (теоретических) минимальна:
.
Фактически, метод наименьших квадратов позволяет минимизировать ошибки: .

Рис. 3. Графическое представление линии регрессии с МНК-параметрами
5. Вычисление МНК-оценок для парной линейной регрессии
Решим задачу минимизации:  .
Чтобы найти минимум этой функции необходимо вычислить производные по каждому из параметров и приравнять их к нулю:
Þ Þ
Решая эту систему, найдем искомые значения оценок :

6. Свойства МНК-оценок
Оценки принято обозначать символом параметра с крышечкой:  .
Оценки коэффициентов уравнения регрессии, полученные методом наименьших квадратов могут обладать следующими свойствами:
1. Несмещенность - .
2. Состоятельность - .
3. Эффективность - , , где a’, b’ – любые другие оценки для a и b.
Содержательно несмещенность оценки означает, что при ее исполь­зовании мы не получаем систематической ошибки; состоятельность оценки гарантирует приближение оценки к истинному значению пара­метра при увеличении объема выборки, а эффективная оценка является наилучшей в смысле минимума среднеквадратичного отклонения. В классе несмещенных оценок эффективность означает минимальность дис­персии.
7. Теорема Гаусса-Маркова:
Если выполнены следующие условия
1)  для всех наблюдений;
2)  = const для всех наблюдений;
3)  ;
4) et~N(0,s2), то оценки  , полученные методом наименьших квадратов, имеют наименьшую дисперсию в классе всех линейных несмещенных оценок, то есть являются несмещенными, состоятельными и эффективными.
Привести картинки, показывающие нарушение условий Гаусса-Маркова.
Наряду с перечисленными условиями обычно также предполагается:
- число наблюдений существенно больше числа объясняющих переменных;
- отсутствуют ошибки спецификации;
- случайное отклонение независимо от объясняющей переменной.