Markov zanjirlari

Chekli Markov zanjirlari uchun limit teorema
Vaqtga nisbatan bir jinsli bo’lgan chekli Markov zanjiri uchun l ehtimol bilan yaqinlashish, ning trayektoriyasi birorta holatda “ to’xtab qoladi” degan ma’noni bildiradi, bu holda u yutib qoluvchi holat bo’lishi kerak.
4- teorema. Holatlar to’plami bo’lgan Markov zanjirining o’tish matritsasi P bo’lib, birorta uchun matritsaning barcha elementlari musbat bo’lsa, u holda
, (12)
munosabat o’rinli.
limitlar - boshlang’ich holatga bog’liq emas va ular
, , (13)
tenglamalar sistemasining yagona yechimdan iborat. Isboti. qadamda o‘tish matritsasi ni ko‘ramiz. Shartga ko’ra u stoxastik va barcha elementlari musbat belgi kiritamiz. to’plamdagi taqsimotlar simpleksi bo’lsin. Agar birlik vektorlar bo’lsa, u holda Ixtiyoriy bo’lganda munosabatni qanoatlantiruvchi vektor mavjud ekanligini ko’rsatamiz. - ketma-ketlik ko‘rinishidagi ta qism ketma-ketliklardan tashkil topgan, shuning uchun ham teoremaning birinchi tasdig’ni isbotlash uchun vektorlar ketma-ketligining limiti, ixtiyoriy uchun mavjud, ga bog’liq emas va (13) sistemani qanoatlantirishini ko‘rsatish yetarli. Keyingi isbot 4 ta tasdiqqa ajratilgan. a) tenglik orqali aniqlangan chiziqli almashtirish ehtimollar taqsimoti simpleksinini yana o‘ziga o‘tkazadi Haqiqatan ham, agar bo’lsa, u holda vektoming barcha komponentlari manfiy emas va

b) metrikada - koeffitsiyenti dan katta bo’lmagan siquvchan akslantirishdan iborat. Haqiqatan ham,

Agar bo’lsa. u holda . Shuning uchun ham ayirmalarning manfiy bo’lmagan va musbat bo’lmagan yig’ndilari faqat ishoralari bilan farq qiladi, ya’ni

Demak, bo’lganda shunday holatlar mavjudki, ular uchun

tengsizliklar o‘rinli. Bundan va bo’lganda tengsizlikning o‘rinli ekanligidan hamda ning ta’rifidan bu va lar va ixtiyoriy uchun



va

.
Demak,


.
c) kompaktni o‘ziga o‘tkazuvchi siquvchi akslantirish yagona qo‘zg‘almas nuqtaga ega va bu nuqta ixtiyoriy , ketma- ketlik uchun limit nuqta bo’ladi, chunki da
.
( kompaktning nuqtalaridan tashkil topgan ketma- ketlik kamida bitta limit nuqtaga ega. deb faraz qilamiz va ni shunday tanlaymizki, natijada
va

bo’lsin. U holda uchburchak tengsizligiga ko’ra, qarama- qarshilikka kelamiz:
.
d) da va , matritsaga ko’paytirish esa uzluksiz funksiya bo’lgani uchun matritsa bilan chiziqli almashtirishning qo’zg’almas nuqtasi. Agar bu chiziqli almashtirish boshqa qo’zg’almas nuqtaga ega bo’lganda edi, ular akslantirishning qo’zg’almas nuqtalaridan iborat bo’lar edi, bu esa mumkin emas. matitsa bilan akslantirishning yagona qo’zg’almas nuqtasi bo’lgani sababli u (13) chiziqli tenglamalar sistemasining yagona yechimidan iborat. Teorema isbot bo’ldi.

Xulosa
Biz yuqorida amaliyotda keng qo'llaniladigan muhim jarayonlardan birini o'rgandik. Markov jarayonlari mavzusida Kolmogorov Chepmen tenglamasi, Markov jarayonini qurishni, bit jinsli Markov jarayoni ta'rifini va boshqa bir qancha ta'rif va teoremalarni o'rgandik. Markov zanjirlari mavzusida esa fazalar fazosi, holatlar, Markov zanjiri deb atalishining tarixini, diskret vaqtli Markov zanjiri va bularning barchasini fizkaga kimyoga tadbiqlarini ko'rib chiqdik. Misol tariqasida tadbiqlaridan birini keltiradigan bo'lsak: (Diffuziya uchun Frenfestlar modeli) Fiziklar paul va Tatyana Frenfest nomi bilan ataluvchi bu model zarralarni ( bir-biri bilan tutashtirilgan) ikkita 8dishda ko'chish jarayonini va u molekulalarning harakati jarayonida klassik mexanika nuqtai nazaridan qaytariluvchan deb hisoblagan, qaytarilmaydigan o'zgarishlarning ( tutashtirilgan idishlarda bosimlarning tenglashishi natijasida ) vujudga kelish oqibatlarini tushuntirib berish uchun taqdim etilgan.