M’aruza O‘zbekistonda ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika fani

1. Oddiy

2. Mexanik

3. Tipik

4. Qismiy usullari mavjud.

Statistik satorlar. Gistogramma

o’lchashlar va kuzatuvlar natijasida olingan statistik materiallarni quyidagi jadvalga joylashtiramiz:

i	1	2	3	...	i	...	n
xi	x1	x2	x3	...	xi	...	xn

Bunday jadval oddiy statistik qator deyiladi. Agar o’lchovlar soni juda katta bo’lsa, bunday o’lchovlarni yuqoridagi jadval ko’rinishida tasvirlash qiyin. Shuning uchun oddiy statistik qator o’rniga guruhlash bajariladi va u quyidagicha amalga oshiriladi. x miqdorning butun qiymatlar sohasini teng bo’laklarga bo’lamiz (a₀;a₁), (a₁;a₂),... (a_-1;a_) ва (a_k-1;a_k) intervalga x miqdorning tushgan qiymatlari mk larni hisoblaymiz, interval chegarasiga tushgan qiymat yo chap intervalga yo o’ng intervalga mos deb hisoblanadi: сони (a_k-1;a_k) intervalga mos keluvchi nisbiy chastotadir. (2) ekanligi o’z–o’zidan ma'lum

Quyidagi jadvalni tuzamiz:

Interval	(a0;a1)	(a1;a2)	...	(ak-1;ak)	...	(a-1; a)
mk	m1	m2	...	mk	...	m
Pk^*	P1^*	P2^*	...	Pk^*	...	P^*

Guruhlarni quyidagi geometrik shaklda ham tasvirlash mumkin. Ox o’qida а₀,а₁,..., a_k ,...,a_ larni [a_k-1, а_к] keamaga mos to’rburchak yuzini P_k^* deb belgilab

а₀ а₁ а₂ а₃ а₄ а₅ х

ni hosil qilamiz, unga gistogramma deyiladi. Guruhlash gistogramma asosida statistik taqsimot funksiyasini taqriban yasash mumkin.

Olingan materiallarni keyingi qayta ishlash quyidagicha amalga oshiriladi.

(a_k-1, а_к) interval o’rtasini х_к deb belgilab, uni mk marta o’tkazilgan o’lchashlarning qiymati deb qabul qilinadi va oldingi jadval o’rniga quyidagi jadval olinadi.

			...		...
mk	m1	m2	...	mk	...	m
Pk^*	P1^*	P2^*	...	Pk^*	...	P^*

Bu jadval (a_k-1, а_к) da yotuvchi x_k bir-biriga yaqin deb faraz qilish asosida tuzilgan

Misol: Uzoqlikni o’lchash natijasida quyidagi guruhlash yasalgan

Interval	80-110	110-140	140-170	170-200	200-230	230-260	260-290	290-320
mk	2	5	16	24	28	18	6	1
Pk^*	0.02	0,05	0,16	0,24	0,28	0,18	0,06	0,01

Yuqoridagi guruhlashga asosan statistik qator va quyidagi jadvalni yasaymiz.

	95	125	155	185	215	245	275	305
mk	2	5	16	24	28	18	6	1
Pk^*	0.02	0,05	0,16	0,24	0,28	0,18	0,06	0,01

Mavzu uchun savollar

1 Statistika fani nimani o’rganadi?

2 Bosh va tanlanma majmualar qanday tuziladi?

3 Statistik materialni tanlash usullarini sanab bering.

4 Staistik qator qanday tuziladi?

5 Gistogramma nima va u qanday quriladi?

6 Oddiy statistik qator nima?

7 Bosh majmua deganda nimani tushunasiz?

8 Tanlanma majmua nima?

FOYDALANILGAN ADABIYОTLAR

1. Пискунов Н.С. Дифференциал ва интеграл ҳисоб. 2-т –Т.Ўқитувчи 1978

2. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И. Олий математика қиска курси. 2-том. -Тошкент, 1990.

3. Гмурман В.Е. Эҳтимоллар назарияси ва математик статистика. -Т.: Ўқитувчи, 1980.

4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциалные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. -М.: Наука, 1981.

5. Гмурман В.Е. Эҳтимоллар назарияси ва математик статистика курси бўйича масалалар ечишга қўлланма. Т.: Ўқитувчи, 1982.

6. Краснов М.Л., Киселев А.И. Функции комплексного переменного, операционное исчисление. Теория устойчивости. -М.: Наука, 1981.

7. Азларов Т., Мансуров Х. Математик анализ. -Тошкент. Ўқитувчи, 2-қисм, 1995 й.

8. Смирнов В.И. Курс высшей математики. -М.: Наука, 1980.

9. Э. С. Вентцел “Теория вероятности” М. Высшая школа 1999 г.

10. И. И. Привалов “Введение в теорию функции комплексного переменного” М. Высшая школа 1999 г.

11. Ю. А. Розамов “Лекции по теории вероятности” М. Наука 1986 г.

16 Mavzu:

Bevosita o’lchash natijasida hosil bo’ladigan miqdorlar xatoliklarini baholash. Taqsimot parametrlarining statistik baholari

Reja:

5. 
   Bevosita o’lchash natijasida hosil bo’ladigan miqdorlar xatoliklarini baholash.
   
6. 
   Taqsimot qonuni parametrlarini aniqlash va ularni baHolash.
   
7. 
   Parametrlarni aniqlashga qo’yiladigan talablar.
   
8. 
   Matematik kutilish va dispersiya uchun baholar.
   

Tayanch iboralar: O’lchanayotgan miqdor, o’lchash natijasi, sistematik xato, normal taqsimot qonuni, chetlanish, taqsimot parametrlari, nuqtaviy baho, siljimagan baho, siljigan baho, asosli baHo yoki o’rtacha qiymatning siljimagan bahosi, dispersiyaning siljimagan va siljigan baHosi.

Bevosita o’lchash natijasida hosil bo’ladigan

miqdorlar xatolarini baholash

Faraz qilaylik a o’lchanayotgan miqdor, x o’lchash natijasi – tasodifiy miqdor,  esa o’lchash xatosi bo’lsin. U holda bu miqdorlar

=x-a x=a+

munosabatlar bilan bog’langan bo’ladi.

Ko’p sondagi tajriba va kuzatishlarning ko’rsatishicha, o’lchash xatolari, sistematik xatoni, ya’ni hamma o’lchashlarda o’zgarmaydigan xatolarni (masalan, asbob xatosi) yoki o’lchashdan o’lchashgacha ma’lum qonun bo’yicha o’zgaradigan xatolarni chiqarib yuborgandan keyin hamda qo’pol xatolarni chiqarib tashlagandan keyin, taqsimot markazi koordinatalar boshida bo’lgan normal taqsimot qonuniga bo’ysunadi. Bu nazariy asoslar bilan ham tasdiqlanadi.

Agar tasodifiy miqdor katta sondagi tasodifiy miqdorlar yig’indisidan iborat bo’lsa, u holda ba’zi bir sharoitlarda bu yig’indi normal taqsimot qonuniga bo’ysunadi, ya’ni A.M.Lyapunov (1857-1918) teoremasi o’rinli bo’ladi.

T
eorema. Agar bog’liq bo’lmagan tasodifiyx₁,x₂, ...,x_n miqdorlar o’rta qiymati a (umumiylikni buzmasdan a=0 deb faraz qilish mumkin) va dispersiya ² bo’lgan bir xil taqsimot qonuniga ega bo’lsa, u Holda n chegarasiz o’sib borganda

yig’indining taqsimot qonuni normal taqsimotdan Har qancha kichik farq qiladi.

Bunda M[y_n]=0 D[y_n]=1 bo’ladi. Bu teoremaning ahamiyati quyidagidan iborat: X tasodifiy miqdor sifatida biror miqdorning berilgan miqdordan chetlanishi bo’lsin. Bu chetlanish ko’p faktorlarning ta’siri natijasida kelib chiqqan bo’lib, ularning har biri biror tashkil qiluvchi chetlanishni beradi. Masalan, otish xatosi (chetlanishi) ko’p faktorlarga bog’liq bo’lishini bilamiz. Lyapunov teoremasidan X tasodifiy miqdorning umumiy chetlanishining – normal qonunga bo’ysunishi kelib chiqadi.

L
yapunov teoremasidan agar x₁,x₂, ...,x_n lar biror miqdorni o’lchash natijalari bo’lsa (Har birx_i tasodifiy miqdor) va tasodifiy x_i miqdorlar bir xil taqsimot qonuniga bo’ysunsa, u holda tasodifiy miqdor o’rta arifmetik qiymati

ning n yetarli katta bo’lganda normal qonunga har qancha yaqin bo’lgan taqsimot qonuniga bo’ysunishi kelib chiqadi.

Tajribaning ko’rsatishicha qo’shiluvchilar soni 10 tartibda bo’lgandayoq ularning yig’indisi normal taqsimotga bo’ysunadi deb hisoblanadi.

Taqsimot parametrlarini aniqlash va ularni baholash

Agar tasodifiy miqdor taqsimotining qonuni normal qonun ekanligi oldindan ma’lum bo’lsa, u holda masala ikkita a va  parametrlarning qiymatlarini topishga keltiriladi. Hatto ba’zi masalalarda taqsimot qonunining ko’rinishi ham ahamiyatga ega bo’lmasdan, faqat uning sonli xarakteristikalarinigina topish talab qilinadi.

SHunday qilib, tasodifiy miqdorning taqsimot qonunida qandaydir  parametr bor bo’lsin. Uning qiymati ko’rsatilmagan. Quyidagi masala qaraladi: n ta erkli tajriba natijasida X miqdor uchun olingan

x₁, x₂, . . ., x_n

qiymatlar to’plamidan kelib chiqib  parametrning qiymatini baholang.  uchun bahoni ̃ deb belgilaymiz va u ham tasodifiy miqdor bo’ladi. Uning taqsimot qonuni X tasodifiy miqdorning taqsimot qonuniga va tajribalar soni n ga bog’liq bo’ladi va unga qator talablar qo’yiladi.

5. 
    noma’lum parametrni bittagina ̃ son bilan baholansa u nuqtaviy baho deyiladi.
   
6. 
    ning o’rniga ̃ miqdordan foydalanganda bizning kamaytirish tomoniga ham orttirish tomoniga ham xato qilmasligimiz maqsadga muvofiqdir, ya’ni M[̃]= tenglik o’rinli bo’lsin.
   

Tanlanmaning hajmi istalgancha bo’lganda ham matematik kutilish baholanayotgan parametrga teng bo’lgan bunday nuqtaviy bahoga siljimagan baho deyiladi.

7. 
   Matematik kutilishi baholanayotgan parametrga teng bo’lmagan nuqtaviy bahoni siljigan baho deyiladi.
   
8. 
   Tajribalar soni n ning o’sishi bilan ̃ tasodifiy miqdorning qiymatlari  ning atrofida tobora jipslasha borgani maqsadga muvofiqdir, ya’ni D[̃]0 (n da)
   

munosabat bajarilsin. Bunday xossaga ega bo’lgan baho asosli baho deyiladi.

Matematik kutilma va dispersiya uchun baholar

M


atematik kutilma m uchun baho tanlash masalasini qaraymiz. Bunday baho sifatida emprik o’rtachani olamiz. m_x^* ning tasodifiylik xarakterini ta’kidlash uchun bu tenglikni ko’rinishda yozib olamiz, bu yerda x_i orqali X tasodifiy miqdorning i-tajribada Hosil qilingan qiymat belgilangan. x₁, x₂, ..., x_n tasodifiy miqdorlarning barchasi bir xil taqsimot qonuniga ega bo’ladi (U X miqdorning taqsimot qonuni bilan bir xil bo’ladi). Shuning uchun

bo’lib m_x^* siljimagan baho bo’ladi. Bu bahoning dispersiyasi esa:

bo’ladi.

E

ndi dispersiya D uchun baho tanlaymiz. Bunday baho sifatida emprik dispersiya

xizmat qiladi.

D^* ning asosli baho ekanligini ko’rsatamiz. Biroq D^* baho D ga nisbatan siljigan baho bo’ladi. Ko’rsatish mumkinki D^* miqdorning matematik kutilmasi D son bilan bir xil bo’lmaydi, balki oxirgisidan bir oz kichik bo’ladi.

B
u yerdan ko’rinadiki, dispersiyaning siljimagan bahosi ushbu

k
o’rinishda bo’ladi.

H
aqiqatdan ham, tenglik o’rinlidir. D^** bahoni siljimagan emprik dispersiya deb ataladi.

Tekshirish uchun savollar va mashqlar

17. 
    O’lchash xatosi deb nimaga aytiladi?
    
18. 
    Sistematik xato deb nimaga aytiladi?
    
19. 
    A.M.Lyapunov teoremasi va uning ma’nosini ayting.
    
20. 
    Taqsimot parametrlari deb nimaga aytiladi va ular qanday aniqlanadi?
    
21. 
    Nuqtaviy baho deb nimaga aytiladi?
    
22. 
    Siljimagan va siljigan baholarni ta’riflang.
    
23. 
    Asosli baho deganda nimani tushunasiz?
    
24. 
    Matematik kutilish uchun baho qanday tanlanadi?
    
25. 
    Dispersiya uchun baho qanday tanlanadi?
    
26. 
    Bosh to’plamda n=60 hajmli tanlanma olingan
    

Varianta	xi	1	3	5	7	9	10
Chastota	Pi^*	13	15	12	10	2	8

Bosh o’rtacha qiymatning siljimagan bahosini toping.

27. 
    n=20 hajmli tanlanmaning berilgan taqsimoti bo’yicha tanlanma qiymatini toping.
    

x_i 1260 1270 1280

r_i^* 7 10 3

28. 
    n=50 hajmli tanlanma bo’yicha bosh dispersiyaning D^*=5 siljigan bahosi topilgan. Bosh to’plam dispersiyasining siljimagan bahosini toping.
    
29. 
    n=15 hajmli tanlanmaning berilgan taqsimoti bo’yicha tanlanma dispersiyani toping.
    

x_i 216 220 224

r_i^* 5 6 4

30. 
    n=20 hajmli tanlanmaning berilgan taqsimoti bo’yicha tanlanma dispersiyani toping.
    

x_i 0,02 0,04 0,09

r_i^* 10 6 4

31. 
    n=50 hajmli tanlanmaning berilgan taqsimoti bo’yicha tanlanma dispersiyani toping.
    

x_i 0,1 0,5 0,6 0,8

r_i^* 5 15 20 10

32. 
    n=10 hajmli tanlanmaning berilgan taqsimoti bo’yicha kuzatilgan tanlanma dispersiyani toping (siljimagan emprik dispersiya).
    

x_i 202 204 208

r_i^* 2 3 5

Adabiyotlar:

6. 
   A.S.Solodovnikov. Ehtimolar nazariyasi. – Toshkent: 1983.
   
7. 
   N.S.Piskunov. Differensial va integral hisob. – Toshkent: 1974.
   
8. 
   V.E.Gumurman. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistikadan masalalar yechishga doir qo’llanma. – Toshkent: 1980.
   
9. 
   Yu.G.Grost. Zadachnik praktikum po teorii verayatnostey. - Moskva: 1969.
   
10. 
    R.S.Guter, B.V.Ovchinskiy. Osnovы teorii verayatnostey. – Moskva: 1967.
    

17- ma’ruza

Bevosita o’lchash natijasida hosil bo’ladigan miqdorlar xatoliklarini baholash. Taqsimot parametrlarining statistik baholari

Reja:

9. 
   Bevosita o’lchash natijasida hosil bo’ladigan miqdorlar xatoliklarini baholash.
   
10. 
    Taqsimot qonuni parametrlarini aniqlash va ularni baHolash.
    
11. 
    Parametrlarni aniqlashga qo’yiladigan talablar.
    
12. 
    Matematik kutilish va dispersiya uchun baholar.
    

Tayanch iboralar: O’lchanayotgan miqdor, o’lchash natijasi, sistematik xato, normal taqsimot qonuni, chetlanish, taqsimot parametrlari, nuqtaviy baho, siljimagan baho, siljigan baho, asosli baHo yoki o’rtacha qiymatning siljimagan bahosi, dispersiyaning siljimagan va siljigan baHosi.

Bevosita o’lchash natijasida hosil bo’ladigan

miqdorlar xatolarini baholash

Faraz qilaylik a o’lchanayotgan miqdor, x o’lchash natijasi – tasodifiy miqdor,  esa o’lchash xatosi bo’lsin. U holda bu miqdorlar

=x-a x=a+

munosabatlar bilan bog’langan bo’ladi.

Ko’p sondagi tajriba va kuzatishlarning ko’rsatishicha, o’lchash xatolari, sistematik xatoni, ya’ni hamma o’lchashlarda o’zgarmaydigan xatolarni (masalan, asbob xatosi) yoki o’lchashdan o’lchashgacha ma’lum qonun bo’yicha o’zgaradigan xatolarni chiqarib yuborgandan keyin hamda qo’pol xatolarni chiqarib tashlagandan keyin, taqsimot markazi koordinatalar boshida bo’lgan normal taqsimot qonuniga bo’ysunadi. Bu nazariy asoslar bilan ham tasdiqlanadi.

Agar tasodifiy miqdor katta sondagi tasodifiy miqdorlar yig’indisidan iborat bo’lsa, u holda ba’zi bir sharoitlarda bu yig’indi normal taqsimot qonuniga bo’ysunadi, ya’ni A.M.Lyapunov (1857-1918) teoremasi o’rinli bo’ladi.

T
eorema. Agar bog’liq bo’lmagan tasodifiyx₁,x₂, ...,x_n miqdorlar o’rta qiymati a (umumiylikni buzmasdan a=0 deb faraz qilish mumkin) va dispersiya ² bo’lgan bir xil taqsimot qonuniga ega bo’lsa, u Holda n chegarasiz o’sib borganda

yig’indining taqsimot qonuni normal taqsimotdan Har qancha kichik farq qiladi.

Bunda M[y_n]=0 D[y_n]=1 bo’ladi. Bu teoremaning ahamiyati quyidagidan iborat: X tasodifiy miqdor sifatida biror miqdorning berilgan miqdordan chetlanishi bo’lsin. Bu chetlanish ko’p faktorlarning ta’siri natijasida kelib chiqqan bo’lib, ularning har biri biror tashkil qiluvchi chetlanishni beradi. Masalan, otish xatosi (chetlanishi) ko’p faktorlarga bog’liq bo’lishini bilamiz. Lyapunov teoremasidan X tasodifiy miqdorning umumiy chetlanishining – normal qonunga bo’ysunishi kelib chiqadi.

L
yapunov teoremasidan agar x₁,x₂, ...,x_n lar biror miqdorni o’lchash natijalari bo’lsa (Har birx_i tasodifiy miqdor) va tasodifiy x_i miqdorlar bir xil taqsimot qonuniga bo’ysunsa, u holda tasodifiy miqdor o’rta arifmetik qiymati

ning n yetarli katta bo’lganda normal qonunga har qancha yaqin bo’lgan taqsimot qonuniga bo’ysunishi kelib chiqadi.

Tajribaning ko’rsatishicha qo’shiluvchilar soni 10 tartibda bo’lgandayoq ularning yig’indisi normal taqsimotga bo’ysunadi deb hisoblanadi.

Taqsimot parametrlarini aniqlash va ularni baholash

Agar tasodifiy miqdor taqsimotining qonuni normal qonun ekanligi oldindan ma’lum bo’lsa, u holda masala ikkita a va  parametrlarning qiymatlarini topishga keltiriladi. Hatto ba’zi masalalarda taqsimot qonunining ko’rinishi ham ahamiyatga ega bo’lmasdan, faqat uning sonli xarakteristikalarinigina topish talab qilinadi.

SHunday qilib, tasodifiy miqdorning taqsimot qonunida qandaydir  parametr bor bo’lsin. Uning qiymati ko’rsatilmagan. Quyidagi masala qaraladi: n ta erkli tajriba natijasida X miqdor uchun olingan

x₁, x₂, . . ., x_n

qiymatlar to’plamidan kelib chiqib  parametrning qiymatini baholang.  uchun bahoni ̃ deb belgilaymiz va u ham tasodifiy miqdor bo’ladi. Uning taqsimot qonuni X tasodifiy miqdorning taqsimot qonuniga va tajribalar soni n ga bog’liq bo’ladi va unga qator talablar qo’yiladi.

9. 
    noma’lum parametrni bittagina ̃ son bilan baholansa u nuqtaviy baho deyiladi.
   
10. 
     ning o’rniga ̃ miqdordan foydalanganda bizning kamaytirish tomoniga ham orttirish tomoniga ham xato qilmasligimiz maqsadga muvofiqdir, ya’ni M[̃]= tenglik o’rinli bo’lsin.
    

Tanlanmaning hajmi istalgancha bo’lganda ham matematik kutilish baholanayotgan parametrga teng bo’lgan bunday nuqtaviy bahoga siljimagan baho deyiladi.

11. 
    Matematik kutilishi baholanayotgan parametrga teng bo’lmagan nuqtaviy bahoni siljigan baho deyiladi.
    
12. 
    Tajribalar soni n ning o’sishi bilan ̃ tasodifiy miqdorning qiymatlari  ning atrofida tobora jipslasha borgani maqsadga muvofiqdir, ya’ni D[̃]0 (n da)
    

munosabat bajarilsin. Bunday xossaga ega bo’lgan baho asosli baho deyiladi.

Matematik kutilma va dispersiya uchun baholar

M

atematik kutilma m uchun baho tanlash masalasini qaraymiz. Bunday baho sifatida emprik o’rtachani olamiz. m_x^* ning tasodifiylik xarakterini ta’kidlash uchun bu tenglikni k
o’rinishda yozib olamiz, bu yerda x_i orqali X tasodifiy miqdorning i-tajribada Hosil qilingan qiymat belgilangan. x₁, x₂, ..., x_n tasodifiy miqdorlarning barchasi bir xil taqsimot qonuniga ega bo’ladi (U X miqdorning taqsimot qonuni bilan bir xil bo’ladi). Shuning uchun

b
o’lib m_x^* siljimagan baho bo’ladi. Bu bahoning dispersiyasi esa:

bo’ladi.

Endi dispersiya D uchun baho tanlaymiz. Bunday baho sifatida emprik dispersiya

x
izmat qiladi.

D^* ning asosli baho ekanligini ko’rsatamiz. Biroq D^* baho D ga nisbatan siljigan baho bo’ladi. Ko’rsatish mumkinki D^* miqdorning matematik kutilmasi D son bilan bir xil bo’lmaydi, balki oxirgisidan bir oz kichik bo’ladi.

B

u yerdan ko’rinadiki, dispersiyaning siljimagan bahosi ushbu

k
o’rinishda bo’ladi.

Haqiqatdan ham,

tenglik o’rinlidir.

D^** bahoni siljimagan emprik dispersiya deb ataladi.

Tekshirish uchun savollar va mashqlar

33. 
    O’lchash xatosi deb nimaga aytiladi?
    
34. 
    Sistematik xato deb nimaga aytiladi?
    
35. 
    A.M.Lyapunov teoremasi va uning ma’nosini ayting.
    
36. 
    Taqsimot parametrlari deb nimaga aytiladi va ular qanday aniqlanadi?
    
37. 
    Nuqtaviy baho deb nimaga aytiladi?
    
38. 
    Siljimagan va siljigan baholarni ta’riflang.
    
39. 
    Asosli baho deganda nimani tushunasiz?
    
40. 
    Matematik kutilish uchun baho qanday tanlanadi?
    
41. 
    Dispersiya uchun baho qanday tanlanadi?
    
42. 
    Bosh to’plamda n=60 hajmli tanlanma olingan
    

Varianta	xi	1	3	5	7	9	10
Chastota	Pi^*	13	15	12	10	2	8

Bosh o’rtacha qiymatning siljimagan bahosini toping.

43. 
    n=20 hajmli tanlanmaning berilgan taqsimoti bo’yicha tanlanma qiymatini toping.
    

x_i 1260 1270 1280

r_i^* 7 10 3

44. 
    n=50 hajmli tanlanma bo’yicha bosh dispersiyaning D^*=5 siljigan bahosi topilgan. Bosh to’plam dispersiyasining siljimagan bahosini toping.
    
45. 
    n=15 hajmli tanlanmaning berilgan taqsimoti bo’yicha tanlanma dispersiyani toping.
    

x_i 216 220 224

r_i^* 5 6 4

46. 
    n=20 hajmli tanlanmaning berilgan taqsimoti bo’yicha tanlanma dispersiyani toping.
    

x_i 0,02 0,04 0,09

r_i^* 10 6 4

47. 
    n=50 hajmli tanlanmaning berilgan taqsimoti bo’yicha tanlanma dispersiyani toping.
    

x_i 0,1 0,5 0,6 0,8

r_i^* 5 15 20 10

48. 
    n=10 hajmli tanlanmaning berilgan taqsimoti bo’yicha kuzatilgan tanlanma dispersiyani toping (siljimagan emprik dispersiya).
    

x_i 202 204 208

r_i^* 2 3 5