Matematika-informatika fakulteti

2.5-teorema (Gronuoll-Bellman teoremasi.)
Agar yarim o’qda aniqlangan, uzluksiz , funksiya va o’zgarmas son uchun
(2.12)
tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda shu t yarim o’qda
(2.13)
tengsizlik ham o’rinli bo’ladi.
Isbot. bo’lganda deb va bo’lgani uchun oxirgi tengsizlikning ikki tomonini g bo’lib, dan gacha integrallaymiz:

Yoki ekanini inobatga olib, izlangan (2.13) tengsizlikni hosil qilamiz.
Tenglama ildizini vatarlar usulida hisoblash:
Aytaylik berilgan f(x)=0 tenglamadagi f(x) funksiya [a,b] oraliqda hamma shartlarini bajarsin. Bundan tashqari f(x) funksiya [a,b] oraliqda ikkinchi tartibli f''(x) uzluksiz hosilaga ega bo`lib, bu hosila shu oraliqda o`z ishorasini saqlasin, ya’ni quyidagi teorema o`rinli bo`lsin.
1-teorema. Agar [a,b] da
1) f(x), f ' (x) funksiyalar uzluksiz;
2) f(a) f(v)< 0, yani f(x) funksiya kesmaning chetlarida har xil ishoraga ega bo`lsa;
3) f'(x), f''(x) hosilalar [a,v] kesmada uz ishorasini saqlasa f(x)=0 tenglama ildizini aniqlaydigan ketma-ketlikl ildizga yaqinlashuvchi bo`ladi.
Bu teoremaning mazmuninni quyidagi shakllarda ko`rish mumkin.

1-rasm
Yuqoridagi shakllar va teoremaga asosan vatar usulini qo`llash uchun egri chiziqni tomonidan foydalanamiz. Buning uchun quyidagi shartni
f'(x) f''(x)<0
[a,b] chegaralarida bajarilishini tekshiramiz.
1) Agar [a,b] oraliqning chap tomonida f'(a ) f''(a )<0 shart bajarilsa, vatar usulini chap tomondan qo`llaymiz.
a0= a
a1=a0 - (b-a0) f(a0)/ (f(b)-f(a0))
an= an-1 - (b -an-1) f(a n-1)/ (f(b)-f(a n-1))
. . . . . . . . . . . . .
bu ketma-ketlik  an- an-1< =0.001 shart bajarulguncha davom etadi va ildiz uchun x an ni qabul qilamiz .
2) Agar [a,b] oraliqning o`ng tomonida f'(a)>0 f''(b)<0 shart bajarilsa, vatar usulini o`ng tomondan qo`llaymiz( 2-rasm. g chizma )
b0= b

b1= b0 - (a- b0) f(b0)/ (f(a)-f(b0))

. . . . . . . . . . . . . (2.14 )
bn= bn-1 - (a- b n-1) f(b n-1)/ (f(a)-f(b n-1))
bu ketma-ketlik  bn- bn-1< =0.001 shart bajarilguncha davom etadi va ildiz uchun x bn ni qabul qilamiz .
Misol. yex-10x-2=0 tenglamaning  =0. 01 aniqlikdagi taqribiy ildizi topilsin.
Yechish. Ma’lumki f(x)=ex-10x-2 funksiya [-1,0] oraliqda 1.1-teoremaning hamma shartlarini bajaradi. x[-1,0] da ikkinchi tartibli hosila f''(x) = yex >0. Demak f(0)=-1, f(-1) = 8.368 bo`lganligi uchun, shartga asosan f(a)>0 f''(0)<0 bo`lgani uchun {an} ketma-ketlik (2.14) ketma ketlikka ko’ra topiladi. Grafik bo`yicha 2rasmdagi v chizmaga to`g’ri keladi.
Berilganlar: a=-1, b=0, =0. 01
f(x)= yex-10x-2, f(-1)=e-1 -10(-1) -2=8. 386, f(0)=e0-10*0-2=-1
b=0 bo’lgani uchun:
b0= 0
b 1= b0 - (a- b0) f(b0)/ (f(a)-f(b0))= -0.107 Yaqinlashish sharti  b1 - b2> bo`lganligi uchun b2 yaqinlashishni hisoblaymiz. Buning uchun

b1= -0.107, f(-0.107)=e-0.107-10(-0.107)-2 =-0.038 , f(a)=f(-1)=8.386
larga asosan:

b2= b1 - (a- b 1) f(b 1)/ (f(a)-f(b 1)) = 0.111  b2- b1+- 0.111+0.107=0.004<=0. 01

Demak taqribiy yechim deb t= bn =-0. 111 ni olish mumkin.

XULOSA
Mazkur kurs ishida -taqribiy yechim. Diffrensial va integral tengsizliklar haqida to’liq nazariy ma’lumotlar berilgan va amaliy ko’rsatmalar yoritilgan.

Teoremalar, ta’riflar isbotlar keltirib o’tilgan.
Jumladan differensial va integral tengsizliklar haqida ma’lumotlar keltirilgan. Shuningdek, integral tengsizliklar va ularning qo’llanilishi va ularni yechish usullari haqida ma’lumotlar keltirilgan.
Mazkur kurs ishdan oliy o’quv yurti talabalari differensial tenglamalar fanini o’rganishda foydalanishlari mumkin.
Kurs ishida taqribiy yechish usullari haqida malumotlar keltirib o’tilgan.
Integral tenglamalar nazaryasi matematikaning eng rivojlangan sohalaridan biri bo’lib , fan va tehnika rivojlanishida katta ro’l o’ynaydi.
Integral tengsizliklar va uning differensial tenglana yechimini o’rganishga tatbiq qilish g’oyasi birinchi bo’lib Gronual tomonidan 1919-yilda amalga oshirilgan bo’lib, hozirgi kunda integral tengsizliklar ko’plab olimlarning ilmiy tadqiqot obyektiga aylandi va mustaqil nazarya shaklida fanda o’z o’rnini egalladi. Bu nazariya Rossiya, Germaniya, Ozorboyjon, Qirg’iziston, O’zbekiston va boshqa chet ellik olimlar tomonidan rivojlantirilib, ko’plab ilmiy maqolalar va monografiyalarda bayon etildi.
Integral tengsizliklarning ahamiyati shundan iboratki ular yordamida integral, differensial, integro-differensial va xususiy hosilali differensial tenglamalar yechimarining mavjudligi va yagonaligi, bohlang’ich shartlar va parametrlarda uzluksiz bog’liqligi, turg’unligi va boshqa koplab xossalarini o’rganishda juda qulay apparat bo’lib xizmat qiladi. Bundan tashqari tenglamalarning aniq va taqribiy yechimlari orasidagi farqni baholashda ham integral tengsizliklardan foydalanish mumkin.