Matematika-informatika fakulteti

1.2-ta’rif.Agar oraliqda aniqlangan funksiyalarning
(1.4)
funksianal ketma-ketlik uchun shunday musbat b o’zgarmas son topiladiki, barcha natural n sonlar va oraliq uchun

Tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda (1.4) ketma-ketlik oraliqda tekis chegaralangan deyiladi.
1.3-ta’rif .Agar yopiq oraliqda aniqlangan funksiyalardan tuzilgan (1.4) ketma-ketlik berilgan bo’lib har qanday uchun shunday topilsaki, barcha n lar uchun tengsizlik bajarilganda ushbu

Tengsizlik o’rinli bo’lsa , u holda (1.4) ketma-ketlik tekis darajali uzluksiz deyiladi.

1.2 Askoli-Artsel teoremasi

1.2-teorema (Askoli-Artsel teoremasi). Agar (1.4) ketma-ketlik chekli oraliqda tekis chegaralangan va tekis darajali uzluksiz bo’lsa ,u xolda (1.4) ketma-ketlikdan o’sha oraliqda tekis yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin.
1.3-teorema (Peano teoremasi). Agar yopiq oraliqda uzliksiz bo’lgan funksiyalarning (1.4) ketma-ketlik shu oraliqda tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda bu ketma-ketlik tekis chegaralangan va tekis darajali uzluksiz bo’ladi.
Endi -taqribiy yechim tushunchasidan foydalanib Peano teoremasini (1.3-teoremani ) isbotlaymiz.
Isbot. Shunday sonlar ketma-ketligini olamiz , da bo’ladi. 1.1-teoremaga ko’ra (1.1) diffrensial tenglamaning oraliqda aniqlangan boshlang’ich shartni qanoatlantiradigan va grafigi
to’plamdan chiqmaydigan -taqribiy yechimi bor va biror uchun
(1.5)
o’rinli.Endi deylik.U holda . Shuning uchun
(1.6)
Ushbu

tengsizlikdan

kelib chiqadi. Bu ketma ketlikning tekis chegaralanganligi tasdiqlaydi.Yuqoridagi mulohoazadan ketma-ketlikka 1.2-teoremani qo’lash mumkin.
ketma-ketlik ketma –ketlikdan ajratilgan va biror uzluksiz funksiya tekis yaqinlashuvchu bo’lsin.Qulaylik uchun qismiy ketma-ketlik uchun ham belgini ishlatamiz.
(1.6) dan da , -taqribiy yechim uchun tegishli integral tenglamasini yozamiz:
(1.7)
bu yerda , .Endi qismiy ketma-ketlikni olaylik (1.7)ga asosan ni va da ekanini hisobga olsak:

Bundan , f(x,y) funksiya P da uzluksiz bo’lgandan .
Demak funksiya shartni qanoatlantiradi va oraliqda (1.1) difrensial tenglamani yechimi.Teorema isbotlandi.