Matritsa rangi Reja

Matritsa rangi
Reja:

1.Matritsa rangi.

2.Matritsa rangi haqidagi asosiy teorema.

3.

Xulosa

Foydalanilgan adabiyotlar

Bizga (1)

tartibli matrisa berilgan bo’lsin. Bu matrisaning ustunlaridan tuzilgan vektorlar sistemasini tuzamiz:

(2)

Ta’rif 1. Matrisaning rangi deb, uning ustunlaridan tuzilgan vektorlar sistemasining rangiga aytiladi, ya’ni

.

Tabiykim matrisani rangi ta’rif bo’yicha hisoblash ancha murakkab masala hisoblanadi.

To’g’ri to’rtburchakli matrisa uning satr va ustunlarinning kesishgan joyida turuvchi elementlardan tartibli ( ) determinant ajratib olamiz. Hosil bo’dgan determinantga matrisaning tartibli minori deyiladi.

Bizni matrisaning minorlari ichida noldan farqli eng yuqori tartibli minorlari qiziqtiradi. Dastlab quyidagi muhim lemmalarni keltiramiz:

Lemma 2. Agar matrisaning barcha tartibli minorlari nolga teng bo’lsa, barcha tartibli ( ) minorlari ham nolga teng bo’ladi.

Isbot. Bizga tartibli minorlar berilgan bo’lsin. U holda Laplas teoremasiga asosan, bu minor hamma tartibli minorlarning algebraik yig’indisidan iborat bo’ladi va bular nolga tengligidan minorning nolga tengligi kelib chiqadi.

Lemma 3. Agar matrisaning tartibli noldan farqli bo’lsa, u holda shu minorda hisoblangan ustunlardan tuzilgan vektorlar sistemasi chiziqli erkli bo’ladi.

Isbot. Teskarisidan faraz qilamiz, ya’ni agar bu vektorlar sistemasi chiziqli bog’langan bo’lsa, u holda minorning ustunlari shu minorning boshqa ustunlarining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi va demak determinantning xossasiga asosan minor nolga teng bo’ladi. Bu farazimiz esa lemma shartiga ziddir.

Endi matrisaning rangini minorlar yordaida hisoblashni beruvchi asosiy teoremani keltiramiz:

Teorema 4. Matrisaning rangi, uning noldan farqli eng kata minorlarining tartibiga tengdir.

Isbot. Faraz qilaylik, matrisaning rangi ga teng bo’lib, uning birinchi ta ustunlari chiziqli erkli bo’lsin. Shu ustunlarning elementlarida bosh minorni tuzib va uni o’z ichiga oluvchi ixtiyoriy tartibli minorni qaraymiz. Shuni ta’kidlaymizki lemmaga asosan va agar tartibli minor mavjud bo’lsa teorema shu yerni o’zida isbot bo’ladi. Faraz qilaylik tartibli minor

ko’rinishda bo’lsin.

Bu minorni oxirgi ustun bo’yicha yoyib chiqamiz:

bu yerda

dan iboratdir. Hosil bo’lgan tenglikda bo’lganligi uchun

tenglik kelib chiqadi. Bu tenglik barcha uchun to’g’ri bo’lib, uning koeffisiyentlari ga bog’liq bo’lganligi tufayli matrisaning ustuni aynan mos holda koeffisiyentlari bilan olingan birinchi ta ustunining yig’indisidan iborat bo’ladi.

Bu teoremaning isbotlash davomida biz muhim xulosaga keldik, ya’ni agar determinant nolga teng bo’lsa, uning bir usutuni qolgan ustunlarining chiziqli kombinasiyalaridan iborat bo’ladi, ya’ni biz determinantning xossasiga teskari xossani ham o’rinli bo’lishligini ko’rsatdik. Ikkinchidan teorema shartiga asosan biz tartibi dan katta bo’lgan hamma minorlarning nol bo’lishini ko’rsatishimiz kerak edi, ammo teoremani isbotining davomida faqat noldan farqli o’z ichiga oluvchi minorni nol bo’lishini ko’rsatsak kifoyadir. Albatta bu matrisani rangini hisoblashga ancha yengillashtiradi.

Biz teoremadan kelib chiqqan holda bir xulosaga kelamizki, agar biz matrisani rangi ta’rifini, uning satrlaridan tuzilgan vektorlarning rangiga teng deb olganimizda ustun va satr bo’yicha kiritilgan ranglar teng bo’ladi, chunki noldan farqli minor uni transponirlash natijasida noldan farqlicha qolaveradi.

Misol. Ushbu matrisani

tartibli matrisani rangini hisoblaymiz. Shuni ta’kidlaymizki bu matrisada eng yuqori tartibli minor, bu uchinchi tartibli minordir.

Bu minorni o’z ichiga oluvchi ikkinchi tartibli minorini qaraymiz:

,

Endi bu noldan farqli minorini o’z ichiga oluvchi minorlarini qaraymiz:

, ,

va demak noldan farqli eng kata minori ikkinchi tartibli minori bo’lganligidan rangA= 2 bo’ladi.

Matrisalarni rangini ya’ni bitta qulay usuli, bu matrisalarga elementar almashtirishlar qo’llash yordamida topish usulidir, chunki bizga ma’lumki matrisalarga elementar almashtirishlar ta’sir etishi natijasida unining noldan farqli minori noldan farqlicha va nolga teng minori nolga tengligicha qolaveradi va demak, agar A=B bo’lsa, u holda

rangA= rangB

bo’ladi.

Natijada biz matrisada yetarlicha nollarni paydo qilib, so’rnra uning minorlarini hisoblasak matrisaning rangini hitsoblash ancha oson kechadi. Bundan tashqari biz elementar almashtirishlar nafaqat matrisaning satri uchun balki ustunlari uchun bajarilishini talab qilsak, u holda biz matrisa unga ekvivalent bo’lgan va bosh diagonalida birlar soni rangA=r ta bo’lgan matrisaga keladi. Bu usulni yuqorida keltirgan matrisaga bajaramiz:

hosil qilamiz. Bu matrisada faqat bitta noldan farqli eng katta minor mavjud va uning bosh diagonalida ikkita bir sonlari joylashgan va demak uning rangi 2 ga, bundan esa berilgan matrisani rangi 2 ekanligini hosil qilamiz.

Foydalanilgan adabiyotlar.

1. 
   Hojiyev J., Faynleyb A.S. Algebra va sonlar nazariyasi kursi. Darslik, -T.: O’qituvchi, 2001.
   
2. 
   Isroilov M.I., Soleyev A.S. Sonlar nazariyasi. – T.: Fan, 2003.
   
3. 
   Шнeпeрман Л.Б.Сборник задач по алгeбрe и тeории чисeл.-Минск, Вышeйшая школа, 1982.
   
4. 
   Проскуряков И.В. Сборник задач по линeйной алгeбрe.- М.: Наука, 1984.
   
5. 
   Фадeев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшeй алгeбрe.-М.: Наука, 1977.