Mavzu: Birinchi tartibli differsial tenglamalarni yechish usullari

standart koʻrinishi esa

boʻladi.

Standart koʻrinishda berilgan chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamani ikki xil usulda yechishni koʻrib chiqamiz:

1. 
   
   Oʻzgarmasni variatsiyalash usuli.
   
2. 
   
   Bernulli usuli.
   

Oʻzgarmasni variatsiyalash usuli algoritmi quyidagicha:

1.  – oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama yechiladi  – umumiy yechim topiladi.

   
   

2. ni oʻrniga biror bir u(x) – x ning funksiyasini qoʻyamiz 

   
   

, usulning nomi ham shundan kelib chiqqan – oʻzgarmasni variatsiyalash (oʻzgartirish)

3.  ni  differensial tenglamaga qoʻyamiz.

   
   

Eslatma: Ushbu fokusdan keyin tenglama oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamaga kelishi lozim!

4. Hosil boʻlgan oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamani yechib, u(x) ni topamiz.

   
   
5. 
   
   u(x) ni ifodasini  ga qoʻyib umumiy yechimni topamiz.
   

Fan va texnikaning koʻplab masalalari oddiy differensial tenglamalarni yechishga olib kelinadi. Oddiy differensial tenglama deb erkli oʻzgaruvchi (argument), izlanayotgan funksiya va uning bir qator hosilalarini oʻz ichiga olgan tenglamaga aytiladi. Oddiy differensial tenglama umumiy holda quyidagicha yoziladi: , …, y, yF(x, y, y (n) ) = 0, bu yerda x – erkli oʻzgaruvchi; y (i) – izlanayotgan funksiyaning i-tartibli hosilasi, y (i) = i i dx d y ( ) ; n – tenglamaning tartibi. n-tartibli oddiy differensial tenglamaning umumiy yechimi n ta c1, c2, .., cn oʻzgarmaslarni oʻz ichiga oladi, yaʼni uning umumiy yechimi quyidagicha yoziladi: (x, c1, c2, .., cn).y = Oddiy differensial tenglamaning yagona yechimini topish uchun n ta qoʻshimcha shartlar kiritish lozim boʻladi. Agar bu qoʻshimcha shartlr bitta nuqtada berilsa, u holda bunday masala Koshi masalasi deb ataladi. Koshi masalasining qoʻshimcha shartlari boshlangʻich shartlar deb ataladi. Agar qoʻshimcha shartlar bittadan ortiq nuqtalarda berilsa, yaʼni erkli oʻzgaruvchining har xil qiymatlarida berilsa, u holda bunday masala chegaraviy masala deb ataladi. Bunday masalaning qoʻshimcha shartlari chegaraviy shartlar deb ataladi. Xususan, n = 1 boʻlganda gap faqat Koshi masalasi haqida ketadi. Koshi masalasining qoʻyilishiga misollar keltiraylik: = x1) y 3 y 2 , y(1) = 2; + xy3 = y2) y (1) = 0., y(1) = 1 , y Chegaraviy masalasining qoʻyilishiga misollar keltiraylik: – xy , y(0) = 1 , y(1) = 0; + 2y1) y (1) = 0 , y(3) = 2 . , y(1) = 0 , y – y = x + xy2) y Bunday masalalarni analitik usullar bilan faqatgina maxsus turdagi tenglamalar uchungina yechish mumkin. Qolgan hollarda biror sonli usulga murojaat qilishga toʻgʻri keladi. Quyida ana shunday bir qadamli sonli usullar bilan birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni yechishni qarab chiqamiz.

Mavzu: Eyler usulida yechish

Ushbu bo’limning yuqori paragraflarida ko’rilgan usullar taqribiy analitik usullar bo’lib, bu hollarda yechimlar analitik (formula) ko’rinishlarida olindi. Bu usullar bilan topilgan yechimni aniqlik darajasi haqida yuritish birmuncha murakkab bo’ladi.

Masalan, ketma-ket differensiallash usulini qo’llaganda qatorning juda ko’p hadlarini hisoblashga to’g’ri keladi va ko’p hollarda shu qatorni umumiy hadini aniqlab bo’lmaydi. Pikar algoritmini qo’llaganimizda esa, juda murakkab integrallarni hisoblashga to’g’ri keladi va ko’p hollarda integral ostidagi funktsiyalar elementar funktsiyalar orqali ifodalanmaydi. Amaliy masalalarni yechganda, yechimlarni formula ko’rinishida emas, balki jadval ko’rinishida olingani qulay bo’ladi.

Differensial tenglamalarni sonli usullar bilan yechganda yechimlar jadval ko’rinishida olinadi. Amaliy masalalarni yechishda ko’p qo’llanadigan Eyler va Runge–Kutta usullarini ko’rib chiqamiz.

Birinchi tartibli differensial tenglamani

y^’=f(x,y) (7.4.1)

[a,b] kesmada boshlang’ich shart: x=x₀ da u=u₀ ni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.

[a,b] kesmani x₀, x₁, x₂, ..., x_n nuqtalar bilan “n” ta teng bo’laklarga ajratamiz.

Bu erda x_i=x₀+ih (i=0,1, ..., n), h= – qadam.

(7.4.1) tenglamani [a,b] kesmaga tegishli bo’lgan biror [x_k , x_k+1] kesmada integrallasak

_k

Bu erda y(x_k)=y_k belgilash kiritsak

u_k+1=u_k+ (7.4.2)

Bu erda integral ostidagi funktsiyani [x_k , x_k+1] kesmada o’zgarmas x=x_k nuqtada boshlang’ich qiymatga teng desak, Eyler formulasini hosil qilamiz:

u_k+1= y_k+y_k , y_k=hf(x_k,y_k) (7.4.3)

Ushbu jarayonni [a,b] ga tegishli bo’lgan har bir kesmachada takrorlasak, (7.4.1) ni yechimini ifodalovchi jadvalni tuzamiz..

Eyler usulini differensial tenglamalar tizimini yechishni ham qo’llash mumkin. Quyidagi sistema uchun boshlang’ich masala berilgan bo’lsin:

x=x₀ da u=u₀, z=z₀ (7.4.4)

(7.4.4) ning taqribiy yechimlari quyidagi formulalar bilan topiladi

u_i+1=y_i+y_i , z_i+1=z_i+z_i

Bu erda

u_i=hf₁(x_i,y_i,z_i), z_i=hf₂(x_i,y_i,z_i), (i==0,1,2, ...)
Misol. Eyler usuli bilan y^’=y+(1+x)y² , u(1)=-1 masalaning yechimi [1;1,5] kesmada h=0,1 qadam bilan topilsin.

Yechish. Masalani shartidan x₀=1, u₀=-1 topamiz va (7.4.3) Eyler formulasidan quyidagi jadvalni tuzamiz.

Bu usulni takomillashtirilgan ko’rinishlaridan biri Eyler-Koshi usulidir. Eyler-Koshi usuli yordamida esa taqribiy yechimlar quyidagi formulalar orqali xisoblanadi:

bu erda
Runge – Kutta usuli ko’p jixatdan Eyler usuliga o’xshash, ammo aniqlik darajasi Eyler usuliga nisbatan yuqori bo’lgan usullardan biridir. Runge – Kutta usuli bilan amaliy masalalarni yechish juda qulay. Buning sababi, bu usul orqali noma’lum funktsiyani x_i+1 dagi qiymatini topish uchun uning x_i dagi qiymati aniq bo’lishi etarli.

Runge – Kutta usulini uning aniqlash darajasi bo’yicha bir nyecha usullarga ajratadilar. Shulardan amaliyotda eng ko’p qo’llanadigani to’rtinchi darajali aniqlikdagi Runge – Kutta usulidir.

Birinchi tartibli differensial tenglama y^’=f(x,y) uchun x=x_i da y=y_i (i=0,1,2, ...n) qiymatlar ma’lum bo’lsin. Bu erda “u_i” boshlang’ich shart ma’nosida bo’lmasligi ham mumkin.

Tenglamaning yechimi qidirilayotgan kesma [a,b], x_i=x₀+ih (i=0,1,2,...n) nuqtalar bilan bir-biriga teng “n” ta bo’lakka bo’lingan.

Noma’lum funktsiya “u” ni x=x_i+1 dagi qiymati y_i+1= y(x_i+1) ni topish uchun quyidagi ketma-ket hisoblash jarayonini amalga oshirmoq lozim bo’ladi: