Muhandislari instituti fan: oliy matematika

---

Fazoda
to’g’ri
chiziq va uning parametrli
va kanonik tenglamalari. 
To’g’ri
chiziqlar
orasidagi burchak. 
To’g’ri
chiziq va
tekislikning fazoda
o’zaro
joylashishi
TOSHKENT IRRIGATSIYA VA QISHLOQ 
XO’JALIGINI MEXANIZATSIYALASH 
MUHANDISLARI INSTITUTI
FAN: OLIY MATEMATIKA
“
Oliy matematika
” 
kafedrasi dotsenti
Ergashev
To’xtasin
Gulamjanovich
www.tiiame.uz 

---

Reja:
Fazoda to’g’ri chiziq va uning parametrli va 
kanonik tenglamalari. 
1
2
To’g’ri chiziqlar orasidagi burchak. 
3
To’g’ri chiziq va tekislikning fazoda o’zaro 
joylashishi

---

1. 
Fazoda to’g’ri chiziqni ikkita tekislik kesishmasi kabi aniqlash mumkin. Quyidagi
sistema
to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi
deyiladi:
ቊ
𝐴
1
𝑥 + 𝐵
1
𝑦 + 𝐶
1
𝑧 + 𝐷
1
= 0
𝐴
2
𝑥 + 𝐵
2
𝑦 + 𝐶
2
𝑧 + 𝐷
2
= 0
Fazoda to’g’ri chiziq va uning parametrli va kanonik tenglamalari

---

2. 
𝑀
0
𝑥
0
, 𝑦
0
, 𝑧
0
nuqtadan o’tuvchi va
to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori deb 
ataluvchi 
Ԧ𝑙 = 𝑚, 𝑛, 𝑝
ga ega bo’lgan
to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi
quyidagi tenglik bilan aniqlanadi:
𝑥 − 𝑥
0
𝑚
=
𝑦 − 𝑦
0
𝑛
=
𝑧 − 𝑧
0
𝑝
Fazoda to’g’ri chiziq va uning parametrli va kanonik tenglamalari

---

Fazoda to’g’ri chiziq va uning parametrli va kanonik tenglamalari

---

Fazoda to’g’ri chiziq va uning parametrli va kanonik tenglamalari

---

3. 
To’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari:
𝑥 = 𝑥
0
+ 𝑙𝑡
𝑦 = 𝑦
0
+ 𝑚𝑡
𝑧 = 𝑧
0
+ 𝑝𝑡
bu yerda
𝑡 −
parametr.
Fazoda to’g’ri chiziq va uning parametrli va kanonik tenglamalari

---

4. 
Berilgan ikki
𝑀
1
𝑥
1
, 𝑦
1
, 𝑧
1
va 
𝑀
2
𝑥
2
, 𝑦
2
, 𝑧
2
nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri
chiziq tenglamasi:
𝑥 − 𝑥
1
𝑥
2
− 𝑥
1
=
𝑦 − 𝑦
1
𝑦
2
− 𝑦
1
=
𝑧 − 𝑧
1
𝑧
2
− 𝑧
1
Fazoda to’g’ri chiziq va uning parametrli va kanonik tenglamalari

---

5. 
Fazodagi to’g’ri chiziqning umumiy
tenglamalari:
ቊ
𝐴
1
𝑥 + 𝐵
1
𝑦 + 𝐶
1
𝑧 + 𝐷
1
= 0
𝐴
2
𝑥 + 𝐵
2
𝑦 + 𝐶
2
𝑧 + 𝐷
2
= 0
bunda 
𝐴
1
𝐴
2
≠
𝐵
1
𝐵
2
≠
𝐶
1
𝐶
2
. Bu to’g’ri chiziqning
yo’naltiruvchi vektori
Ԧ𝑙
quyidagicha
aniqlanadi:
Ԧ𝑙 = 𝑁
1
× 𝑁
2
=
Ԧ𝑖
Ԧ𝑗
𝑘
𝐴
1
𝐵
1
𝐶
1
𝐴
2
𝐵
2
𝐶
2
Fazoda to’g’ri chiziq va uning parametrli va kanonik tenglamalari

---

Misol. 
Fazodagi ikki nuqta 
𝑀
1
(−2, 4, 1)
va
𝑀
2
(−3, 2, −5)
lar orqali o’tuvchi to’g’ri
chiziq tenglamasini tuzing.
Yechish.
Berilgan nuqtalarga ko’ra,
𝑥
1
= −2, 𝑦
1
= −4, 𝑧
1
= 1
,
𝑥
2
= −3, 𝑦
2
= 2, 𝑧
2
= −5
larga egamiz. 
Fazoda to’g’ri chiziq va uning parametrli va kanonik tenglamalari

---

Misol. 
Fazoda
𝑀(3, −1, 12)
nuqtadan
o’tuvchi va ordinatalar o’qiga parallel 
joylashgan to’g’ri chiziq tenglamasini tuzing
Yechish. Parallellik shartidan kelib chiqib, 
Ԧ𝑗 = (0, 1, 0)
vektor qidirilayotgan to’g’ri
chiziqning yo’naltiruvchi vektori bo’ladi. 
Shundan kelib chiqadiki to’g’ri chiziq
tenglamasi quyidagicha bo’ladi:
Fazoda to’g’ri chiziq va uning parametrli va kanonik tenglamalari

---

Quyidagi kanonik tenglamalari bilan berilgan ikkita
ayqash to’g’ri chiziqlar berilgan bo’lsin:
𝑥 − 𝑥
1
𝑚
1
=
𝑦 − 𝑦
1
𝑛
1
=
𝑧 − 𝑧
1
𝑝
1
𝑥 − 𝑥
2
𝑚
2
=
𝑦 − 𝑦
2
𝑛
2
=
𝑧 − 𝑧
2
𝑝
2
To’g’ri chiziqlar orasidagi
𝝋
burchak
deb shu
to’g’ri chiziqlarning yo’naltiruvchi vektorlar
orasidagi burchakka aytiladi.
To’g’ri chiziqlar orasidagi burchak

---

Bu burchakni quyidagicha aniqlash mumkin:
To’g’ri chiziqlar orasidagi burchak
Xususan, ularning perpendikulyarlik sharti:
Va parallellik sharti:

---

To’g’ri chiziqlar orasidagi burchak
Misol. 
Quyidagi tenglamalar bilan berilgan to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi
vektorlarining yo’naltiruvchi kosinuslarini toping:
Yechish. 
Yuqoridagi keltirilgan formulaga ko’ra berilgan to’g’ri chiziqning
yo’naltiruvchi vektorini hamda so’ralgan yo’naltiruvchi kosinuslarinitopamiz:

---

1. 
To’g’ri chiziq va tekislik orasidagi
𝜑
burchak deb shu to’g’ri chiziq va uning
berilgan tekislikdagi proeksiyasi orasidagi
burchakka aytiladi.
Ԧ𝑙 = 𝑚, 𝑛, 𝑝 −
shu to’g’ri chiziqning
yo’naltiruvchi vektori, 
𝑁 𝐴, 𝐵, 𝐶 −
tekislikning normal vektori bo’lsin. U holda
quyidagi kelib chiqadi: 
To’g’ri chiziq va tekislikning fazoda o’zaro joylashishi

---

To’g’ri chiziq va tekislikning fazoda o’zaro joylashishi
Xususan, ularning perpendikulyarlik sharti:
va parallellik sharti:

---

2. 
𝑥 = 𝑥
0
+ 𝑙𝑡
, 
𝑦 = 𝑦
0
+ 𝑚𝑡
, 
𝑧 = 𝑧
0
+ 𝑝𝑡
parametrli tenglamalari bilan berilgan
to’g’ri chiziqning
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0
tenglama bilan berilgan tekislik bilan
kesishish nuqtalarining koordinatalarini berilgan parametrli to’g’ri chiziq
tenglamalarini shu tekislik tenglamasiga qo’yish, u yerdan
𝑡
parametrni topish va shu
topilgan qiymatni to’g’ri chiziqning parametrli tenglamalariga qo’yish orqali topish
mumkin.