Mundarija: I. Kirish II. Asosiy qism

6-Teorema. Jamlanuvchi funksiyaning har bir uzliksizlik nuqtasi uning Lebeg nuqtasi bo`ladi
Isbot. nuqta funksiyaning uzliksizlik nuqtasi bo`lsin u holda son uchun shunday sonni topish mumkinki, tengsizlik bajarilganda bo`ladi. Bundan bo`lib, nuqta funksiyaning Lebeg nuqtasi ekanligi kelib chiqadi.


2.3. Lebegning aniqmas integrali absolyut uzluksiz funksiyadir.
Endi absolyut uzluksiz funksiyalar sinfini kiritamiz. Bu funksiyalar sinfi o’zgarishi chegaralangan funksiyalar sinfidan kengroq bo’lib, jamlanuvchi funksiyalarning aniqmas integrali bilan yaqin bog’langan.
1-ta’rif . segmentda aniqlangan funksiya berilgan bo’lsin. Agar ixtiyoriy uchun shunday mavjud bo’lsaki, soni chekli va har ikkisi o’zaro kesishmaydigan har qanday
(1)
segmentlar sistemasi uchun
(2)
shartlar bajarilganda



tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda funksiya segmentda absolyut uzluksiz deyiladi.
Ta’rifdan ravshanki, har qanday absolyut uzluksiz funksiya odatdagi ma’noda ham uzluksiz: buni ko’rsatish uchun yuqoridagi ta’rifda deb olish kifoya .
Absolyut uzluksiz funksiyaga misol sifatida Lipshis shartini, ya’ni

tengsizlikni qanoatlantiruvchi funksiyalarni olishimiz mumkin.
Haqiqatan ham, agar segmentlar sistemasi uchun shartlar bajarilsa, u holda

bo’lib, sonni deb olsak,

bo’ladi.
1-teorema: Agar va funksiyalar absolyut uzluksiz bo’lsa, u holda ularning yig’indisi, ayirmasi va ko’paytmasi ham absolyut uzluksiz bo’ladi.
Agar berilgan segmentda nolga teng bo’lmasa, u holda ham o’sha segmentda absolyut uzluksiz bo’ladi.
Isbot: Yig’indi va ayirmaning absolyut uzluksizligi quyidagi tengsizlikdan bevosita kelib chiqadi:


va lar bilan mos ravishda va larning dagi aniq yuqori chegarasini belgilab,





munosabatlarni yozishimiz mumkin. Bundan esa ko’paytmaning absolyut uzluksizligi kelib chiqadi.