Mundarija: I. Kirish II. Asosiy qism

2-teorema: segmentdagi absolyut uzluksiz funksiya bu segmentda o’zgarishi chegaralangandir.
Isbot: funksiya segmentda absolyut uzluksiz bo’lsin. U holda funksiya uchun ga mos son mavjudki, uzunliklarining yig’indisi dan kichik bo’lgan o’zaro kesishmaydigan va soni chekli intervallarning

sistemasi uchun

tengsizlik o’rinli.
Bu son bo’yicha shunday natural son topish mumkinki, segmentni har birining uzunligi dan kichik bo’lgan ta qismga bo’lish mumkin, ya’ni



va

So’ngra, segment o’zaro kesishmaydigan va soni chekli qanday qismlarga bo’linmasin, quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi:
va demak,
ya’ni ning o’zgarishi chegaralangan. Teorema isbot bo’ldi.
3-teorema: Har qanday absolyut uzluksiz funksiyani ikkita o’suvchi absolyut uzluksiz funksiyaning ayirmasi shaklida ifoda qilish mumkin:

Isbot: Teoremani isbotlash uchun 2 - va 3- teoremalarga asosan va funksiyalarning absolyut uzluksizligini isbotlash kifoya. Agar ning absolyut uzluksizligini ko’rsatsak, 1 teoremaga asosan,

absolyut uzluksiz bo’ladi. ning absolyut uzluksizligini isbotlaymiz.
Ixtiyoriy ni olib, absolyut uzluksizligi shartidan ni topamiz.
Uzunliklarining yig’indisi dan kichik bo’lgan oraliqlar olib
(3)
yig’indini ko’ramiz.
Bu yig’indi


(4)
yig’indilarning yuqori chegarasiga teng, bu yerda esa oraliqlarning ixtiyoriy bo’linmasidir. Ravshanki,

Barcha oraliqlarning uzunliklarini yig’indisi dan kichik bo’lgani sababli ning absolyut uzluksizlikligiga ko’ra ifoda ifadalarning yuqori chegarasi bo’lgani uchun har bir ifoda dan katta emas. Bu holda ifoda ham dan katta bo’lmaydi, bu esa ning absolyut uzluksizligini ko’rsatadi.