На тему: «Векторное произведение»

На тему: «Векторное произведение»
План
Введение
1. Определение
2. Правые и левые тройки векторов в трѐхмерном пространстве
3. Свойства
3.1 Основные геометрические свойства векторного произведения 3.2 Основные алгебраические свойства векторного произведения
4. Выражение для векторного произведения в декартовых координатах
5. Алгебра Ли векторов Источники, литература
Введение
Векторное произведение — это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трѐхмерном Евклидовом пространстве. Произведение не является ни коммутативным, ни ассоциативным (оно является антикоммутативным) и отличается от скалярного произведения векторов. Во многих задачах инженерии и физики нужно иметь возможность строить вектор, перпендикулярный двум имеющимся — векторное произведение предоставляет эту возможность. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — длина векторного произведения двух векторов равна произведению их длин, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны.
Определить векторное произведение можно по-разному, и теоретически, в пространстве любой размерности n можно вычислить произведение n-1 векторов, получив при этом единственный вектор, перпендикулярный к ним всем. Но если произведение ограничить нетривиальными бинарными произведениями с векторным результатами, то традиционное векторное произведение определено только в трѐхмерном и семимерном пространствах. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства.
В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в трѐхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит от ориентации прямоугольной системы координат или, иначе, еѐ «хиральности».

называется правой, в противном случае – левой.

может быть правой или левой. Посмотрим с конца

тройка

от одной точки. В зависимости от направления

в

трехмерном

тройки

векторов

упорядоченной
Определение__Векторным'>1. Определение
Векторным произведением вектора a на вектор b назовем вектор c, удовлетворяющий условию
1) , где - угол между a и b и, если , то еще
двум условиям:
вектор c ортогонален векторам a и b;
из конца вектора c кратчайший поворот от вектора a (первого
сомножителя) к вектору b (второму сомножителю) виден против часовой стрелки. (Начала векторов предполагаются совмещенными).
Обозначение:
Определение векторного произведения.
Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с
ориентацией пространстве.
Отложим векторы
вектора
вектора на то, как происходит кратчайший поворот от вектора к .
Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка
векторов

);

(

и вектору

коллинеарны;

и

, что

упорядоченная тройка

что

.

Очевидно,

при

и

одновременно

и

,

. Построим некоторый вектор

и

. Отложим от

и
Теперь возьмем два не коллинеарных вектора
точки А векторы
перпендикулярный
построении вектора мы можем поступить двояко, задав ему либо
одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).
В зависимости от направления вектора
векторов может быть правой или левой.
Так мы вплотную подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, заданных трехмерного пространства.
Определение.
Векторным произведением двух векторов и , заданных в
прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется
такой вектор
он является нулевым, если векторы
он перпендикулярен и вектору

, а в третьей

, во второй строке находятся координаты вектора

есть

и

двух

векторов

.

обозначается как

и

ориентирована так же, как и заданная система

);

на синус угла

и
его длина равна произведению длин векторов
между ними (
тройка векторов координат.
Векторное произведение векторов
Координаты векторного произведения.
Сейчас дадим второе определение векторного произведения, которое
позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов и .
Определение.
В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное
произведение
вектор
,

где

- координатные векторы.

Это определение дает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное

произведение

удобно

представлять

в

виде

определителя

квадратной

матрицы

третьего

порядка,

первая

строка

которой

есть

орты

;

, то на основании свойств
следующие свойства векторного

в заданной прямоугольной системе координат:
– координаты вектора
Если разложить этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах (при
Следует отметить, что координатная форма векторного произведения полностью согласуется с определением, данным в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны. Доказательство этого факта можете посмотреть в книге, указанной в конце статьи.
Свойства векторного произведения.
Так как векторное произведение в координатах представимо в виде
определителя матрицы
легко обосновываются
произведения:
1. антикоммутативность

.

что

доказывает

матрицы местами

	.	Нам
изменяется		на
две	строки,

докажем

свойство

антикоммутативности

векторного

или

или
2. свойство
дистрибутивности
;
3. сочетательное свойство
, где - произвольное действительное число.
Для примера
произведения.

По	определению			и
известно,		что	значение	определителя
противоположное,			если	переставить

поэтому, ,
свойство антикоммутативности векторного произведения.
Векторное произведение – примеры и решения.
В основном встречаются три типа задач. В задачах первого типа заданы длины двух векторов и угол между ними, а требуется найти длину векторного произведения. В этом случае используется
формула

и

, а их разложения по координатным векторам

и

на синус угла

и

равна произведению длин векторов

и

,

если

и

длину

векторного

произведения

векторов
Пример.
Найдите

известно Решение.				.
Мы	знаем	из	определения,		что	длина	векторного	произведения

векторов

между ними, поэтому, Ответ:

.

. Задачи второго типа связаны с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина или что-либо еще ищется через координаты
заданных векторов и .
Здесь возможна масса различных вариантов. К примеру, могут быть заданы
не координаты векторов
вида
, или
векторы и могут быть заданы координатами точек их начала и конца.
Рассмотрим характерные примеры.
Пример.

прямоугольной

системе

координат

заданы

два

,

и

длину

векторного

произведения

векторов
В

вектора			. Найдите их векторное произведение.