O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA TA’LIMI VA VAZIRLIGI
Urganch Davlat Universiteti Fizika –matekatika fakulteti Amaliy matematika va informatika ta’lim yo’nalishi 181 - guruhi talabasi Romonberdiyeva Gulzodaning Bitiruv malakaviy ishi
Mavzu:Diskret nochiziqli tenglamalarni keltirib chiqarish va integrallash
Topshirdi: ______________ Romonberdiyeva.G Qabul qildi: ______________ Baholash: ______________
2022 – 2023 – o’quv yili
Bitiruv malakaviy ishi kafedraning 20_____yil________________________dagi yig’ilishida muxokama qilingan va ximoyaga tavsiya etilgan.
Kafedra mudiri___________ ____________________________
Taqrizchilar
Mavzu:Diskret nochiziqli tenglamalarni keltirib chiqarish va integrallash KIRISH I-BOB. BUTUN O‘QDA BERILGAN SHTURM-LIUVILL TENGLAMASI UCHUN SOCHILISH NAZARIYASINING TO‘G‘RI VA TESKARI MASALASI. Yost yechimlari.
Sochilish nazariyasining berilganlari.
II-BOB. 1. Nochiziqli differensial tenglamalar.
2. Vaqtga bog'liq va evolutsiya tenglamalari.
3. To'g'ridan-to'g'ri va teskari sochilish.
XULOSA
KIRISH Sochilish nazariyasining teskari masalasi ilk bor 1949-yilda N.Levinson [89] tomonidan o'rganilgan.
Quyidagi
masalada haqiqiy funksiya bo'lib, ushbu
shartni qanoatlantirsin. U holda (1) differensial tenglamaning
(1.4)
asimptotikaga ega bo'lgan yechimi mavjud bo'ladi. yerdagi funksiyaga sochilish fazasi deyiladi.
Teorema (N.Levinson). Agar (1), (2) chegaraviy masala, (3) shartda manfiy xos qiymatlarga ega bo 'lmasa, u holda uning sochilish fazasi potensialni yagona aniqlaydi.
Umuman olganda, (1)-(3) chegaraviy masalaning spektri chekli sondagi manfiy xos qiymatlar va musbat o'qning birlashmasidan iborat bo ladi. Bu xos qiymatlarni va ularga mos keluvchi xos funksiyalarni , hamda normallovchi o'zgarmaslarni
orqali belgilaymiz.
Aynan shu 1949-yilning o'zida V.Bargman potensial sochilish fazasi orqali yagona aniqlanmasligiga doir bir nechta misollar tuzdi, ya'ni har xil Shturm-Liuvill operatorlari bir xil spektrga va sochilish fazasiga ega bo'lishi mumkinligini ko'rsatdi.
1950-yilda V.A.Marchenko [105] potensialni yagona aniqlash muammosini hal qildi, ya'ni sochilish nazariyasining berilganlari sifatida ushbu to'plamni olish yetarli ekanligini ko'rsatdi. Shuni ham ta'kidlash lozimki, sochilish nazariyasining berilganlari yordamida teskari masalani yechish jarayonidagi yagonalik teoremasi ham V.A.Marchenko yagonalik teoremasining xususiy holidir.
1953-yilda sochilish nazariyasining berilganlari yordamida Shturm-Liuvill operatori potensialini tiklash masalasiga R.Jost va W.Kohn [56] tomonidan Gelfand-Levitan usuli tatbiq qilindi. Ammo, bu usulda topilgan
to "lqin funksiyasi (4) shartni va ushbu
formula orqali topilgan potensial (3) shartni qanoatlantirishini tekshirish murakkab masala hisoblanadi. Chunki quyidagi
Gelfand-Levitan integral tenglamasida da limitga o'tishning imkoni yo'q. Bu yerda
1953-1955-yillari M.G.Kreyn [84] N.Levinson teoremasining shartlarini qanoatlantiruvchi yarim o'qda berilgan ShturmLiuvill operatori uchun sochilish nazariyasining teskari masalasini yechishning yangi usulini yaratdi. Bu usul Gelfand-Levitan usulidan ancha farq qiladi. M.G.Kreyn usulining asosiy g'oyasi (1) ko'rinishdagi Shturm-Liuvill tenglamasini unga ekvivalent bo'lgan quyidagi
birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi bilan almashtirishdan iborat. Bu yerda va funksiyalar o'zaro ushbu
Rikkati tenglamasi orqali bog'langan. (1) tenglamaning
boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini orqali belgilaymiz. M.G.Kreyn bu yechimni
ko'rinishida yozib oladi va funksiyalar (1.7) sistemaning boshlangich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimidan iborat bo"lishini, hamda
ko'rinishda tasvirlanishini ko'rsatadi. Bu yerda
Bundan tashqari, u funksiya har bir tayinlangan uchun Fredgolm tipidagi
integral tenglamani qanoatlantirishini isbotlaydi. Bu yerda
Hozirgi kunda (12) tenglamaga M.G.Kreyn integral tenglamasi deyiladi.
M.G.Kreyn usulining afzallik tomoni shundaki, Shturm-Liuvill tenglamasining yechimini ushbu
formula orqali topib, uning dagi asimptotikasining bosh qismini aniqlash imkoni tug'iladi. Ammo, bu usulda ham (8), (11) formulalar orqali topilgan potensial (3) shartni qanoatlantirishini tekshirish muammosi ochiqligicha qolaverdi.
Sochilish nazariyasining berilganlari yordamida teskari masalaning yechimini topish muammosiga yana bir qadam B.Y.Levin [88] tomonidan 1956-yilda tashlandi. U yuqorida zikr etilgan teskari masala yechimini topish jarayonida kerakli bo'ladigan almashtirish operatorining ushbu
ko'rinishini topishga muvaffaq bo'ldi. Shu yilning o'zida, V.A.Marchenko [103] bu almashtirish operatorining yadrosiga nisbatan chiziqli integral tenglama keltirib chiqardi.
Teorema (V.A.Marchenko). Har bir tayinlangan uchun (1.16) almashtirish operatorining yadrosi ushbu
chiziqli integral tenglamani qanoatlantiradi. Bu yerda
Bu tenglama hozirgi kunda Marchenko integral tenglamasi nomi bilan mashhur. Bundan tashqari, V.A.Marchenko tomonidan, ushbu to'plam (1)-(3) ko'rinishidagi Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining sochilish nazariyasi berilganlari bo lishi uchun zaruriylik va yetarlilik shartlari ham topildi.
Yarim o'qda berilgan Shturm-Liuvill operatori uchun sochilish nazariyasining teskari masalasi L.D.Faddeyevning 1959-yildagi [142] maqolasida yetarlicha to'liq yoritilgan.
Chegaraviy shart umumiy, ya'ni
ko'rinishda bo'lganda (1.1) Shturm-Liuvill tenglamasi uchun shochilish nazariyasining teskari masalasi 1975-yilda B.M. Levitan[91] tomonidan o'rganilgan.
Yuqorida bayon qilingan sochilish nazariyasining teskari masalasi kompleks qiymat qabul qiluvchi va
munosabatni qanoatlantiruvchi potensiallar uchun V.Y.Lyanse tomonidan yechilgan.
Mazkur kitobning birinchi bobida yuqorida zikr etilgan sochlish nazariyasining to’g’ri va teskari masalalarini I.M.Gelfand, B.M.Levitan va V.A.Marchenko usullarida yechish algoritmlarini bayon qilamiz.
Navbatdagi sochilish nazariyasining teskari masalasi bu butun o'qda berilgan Shturm-Liuvill operatori uchun sochilish nazariyasining teskari masalasidir. Ushbu
shartni qanoatlantiradi. Bu shart bajarilganda (21) tenglamaning quyidagi
asimptotikalarni qanoatlantiruvchi va Yost yechimlari mavjud bo'ladi. Yost yechimlari uchun ushbu
B.Y.Levin tasvirlari o'rinli. Bu tasvirlarning yadrolari potensial bilan quyidagi tengliklar yordamida bog'langan:
Qaralayotgan (21) masala cheklita manfiy , xos qiymatlarga ega. Bu xos qiymatlarga mos keluvchi xos funksiyalarni va normallovchi o'zgarmaslarni orqali belgilaymiz. Ushbu
funksiyalarga (21) masalaning mos ravishda o'ng va chap qaytish koeffitsiyentlari deyiladi. Qaralayotgan holda
to'plamlarga mos ravishda sochilish nazariyasining o'ng va chap berilganlari deyiladi. Sochilish nazariyasining teskari masalasi sochilish nazariyasining o'ng yoki chap berilganlari orqali potensialni topishdan iborat. Sochilish nazariyasining bu turdagi teskari masalasi ilk bor I.Key, H.E.Moses [77] so'ngra L.D.Faddeyev [141] tomonidan o'rganilgan. Ushbu
to'plam (1.21) tenglik bilan aniqlanuvchi operatorning sochilish nazariyasining berilganlari bo'lishligining zaruriylik va yetarlilik shartlari ilk bor L.D.Faddeyev tomonidan 1964-yilda topilgan. Bu teskari masalani yechishda ham (1.22) ko'rinishdagi B.Y.Levin tasvirlarining yadrolariga nisbatan olingan chiziqli integral tenglamalar asosiy o'rinni egallaydi.
