Reja: Darajali qatorlar

Darajali qatorning yaqinlashish radiusi va yaqinlashish doirasi.
Teorema 2. Agar (1) darajali qator z ning ba’zi qiymatlarida yaqinlashuvchi, ba’zi qiymatlarida uzoqlashuvchi bo’lsa, u holda shunday yagona R (R>0) son topiladiki (1) qator

doirada yaqinlashuvchi,

sohada esa uzoqlashuvchi bo’ladi.
Isbot: (Mustaqil)
Ta’rif 2. Agar (1) darajali qator da yaqinlashuvchi, da uzoqlashuvchi bo’lsa, R son (1) darajali qatorning yaqinlashish radiusi, doira esa (1) darajali qatorning yaqinlashish doirasi deyiladi.
E s l a t m a. (1) darajali qator

aylana nuqta arida yaqinlashuvchi ham bo’lishi mumkin, uzoqlashuvchi ham bo’lishi mumkin.
Teorema 3. (Koshi–Adamar teoremasi)
Berilgan

darajali qatorning yaqinlashish radiusi
(4)
bo’ladi.
(4) da l=0 bo’lganda R=+ , l =+ bo’lganda esa R=0 deb olinadi.
3. X o s s a l a r i:
1 . Agar (1) darajali qatorning yaqinlashish radiusi R (R>0) bo’lsa, u holda bu qator

doirada tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
Isbot. Berilgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi R ga teng bo’lganligi sababli, qator

doirada yaqinlashuvchi bo’ladi.
nuqtalarni olaylik. Ravshanki, bu nuqtada darajali qator absolyut yaqinlashuvchi, ya’ni

qator yaqinlashuvchi bo’ladi.

uchun har doim

bo’lganligidan Veyershtrass alomatiga ko’ra

qator da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
N a t i j a.2. (1) darajali qator yig’indisi

da uzluksiz funksiya bo’ladi.
. Agar (1) darajasi qatorning yaqinlashish radiusi R(R>0) bo’lsa, u holda bu qatorni da hadlab differensiallash mumkin.
Teylor katori.
Aytaylik,

darajali qator berigan bo’lib, uning yaqinlashish radiusi R(R>0) bo’lsin. Ravshanki, bu qator

doirada yaqinlashuvchi bo’ladi. Berilgan darajali qatorni yig’indisini (z) deylik:
(z) = . (5)
Yuqorida keltirilgan darajali qatorning 2 xossasidan foydalanib (5) qatorni ketma–ket differensiallaimiz:

Bu tengliklarda deb olsak, u holda

ga ega bo’lamiz.
Demak,

bo’ladi.
Koefitsientlarning bu qiymatlarini (5) ga qo’ysak ……………………………. (6)
bo’ladi. Odatda (6) darajali qator Teylor qator deyiladi.
Xulosa: Darajali qator o’zining yaqinlashish sohasida absolyut yaqinlashadi, ichida esa tekis yaqinlashadi. Yaqinlashish sohasini chegarasida har xil hollar ro’y berishi mumkin.
M i s o l l a r:
1.. R=1.
qator doira ichida tekis yaqinlashadi, chegarada uzoqlashadi.
2. R=1.

3. 
   z=1 da uzoqlashuvchi, z= –1 da yaqinlashuvchi. R=1
   

2.