Reja: Darajali qatorlar

Sonli qator yaqinlashuvining zaruriy sharti. Endi berilgan sonli qatorning yaqinlashuvi va uzoqlashuvini aniqlashga imkon beradigan shartlarni ko‘rishga o‘tamiz.

4-TEOREMA: Agar (1) sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda uning umumiy hadi u_n uchun
(10)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: (1) sonli qatorning yig‘indisi S bo‘lsin. Bu holda u_n=S_n – S_n–1 ekanligidan foydalanib, (10) tenglikni quyidagicha hosil qilamiz:
.
Shunday qilib, sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning umumiy hadi albatta (10) shartni qanoatlantirishi lozim, ya’ni (10) qator yaqinlashuvining zaruriy shartini ifodalaydi. Bu shart bajarilmasa, sonli qator albatta uzoqlashuvchi bo‘ladi. Masalan, yuqorida ko‘rilgan qatorlarda u_n=1+0.5ⁿ , v_n=1–0.5ⁿ va

bo‘lgani uchun bu qatorlar uzoqlashuvchi ekanligiga yana bir marta ishonch hosil qilamiz.
Ammo (10) shart sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun yetarli emas. Masalan, garmonik qator deb ataluvchi ushbu
(11)
sonli qatorning umumiy hadi u_n=1/n bo‘lib, (10) shartni qanoatlantiradi. Ammo garmonik qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Buni teskarisini faraz qilish orqali isbotlaymiz. (11) sonli qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi S deb olamiz va S_n hamda S_2n xususiy yig‘indilarni qaraymiz. Unda bir tomondan sonli qator yig‘indisi ta’rifi va farazimizga asosan
(12)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Ikkinchi tomondan esa

va, limit xossasiga asosan,
(13)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. (12) va (13) bir-biriga qarama-qarshi tasdiqlarni ifodalaydi. Demak, (11) garmonik qator yaqinlashuvchi degan farazimiz noto‘g‘ri va bu qator uzoqlashuvchi ekan.
Shunday qilib, berilgan sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lishining yetarli shartini topish masalasi paydo bo‘ldi. Bu masala bilan keyingi paragraflarda shug‘ullanamiz.
Sonli ketma-ketlik hadlarini birin-ketin qo‘shib borishdan hosil bo‘ladigan yig‘indilarning limiti sonli qator bo‘ladi. Bu limit chekli sondan iborat bo‘lsa qator yaqinlashuvchi va limit qiymati uning yig‘indisi deyiladi. Aks holda bu qator uzoqlashuvchi deyiladi. Sonli qatorlarning chekli sondagi hadlarini tashlab yuborilganda uning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligi o‘zgarmay qoladi. Yaqinlashuvchi sonli qatorlarni o‘zgarmas songa ko‘paytirish yoki qo‘shish natijasida yana yaqinlashuvchi qator hosil bo‘ladi. Sonli qator yaqinlashuvining zaruriy sharti–uning umumiy hadining limiti nol bo‘lishidan iboratdir. Ammo garmonik qator misolida bu shart qator yaqinlashuvi uchun yetarli emasligi ko‘rinadi.

Tayanch iboralar

* Sonli qator * Sonli qator hadlari * n-xususiy yig‘indi * Yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) sonli qator * Sonli qator yig‘indisi * Qator yaqinlashuvining zaruriy sharti * Garmonik qator

Oldingi paragrafda har qanday sonli qator yaqinlashuvining zaruriy sharti topilib, u yetarli shart bo‘la olmasligi ko‘rsatilgan edi. Bu yerda musbat hadli sonli qatorlar uchun ularning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini ifodalovchi yetarli shartlarni topish masalasi bilan shug‘ullanamiz.

1-TA’RIF: Agar sonli qatorning barcha hadlari musbat (u_n>0 , n=1,2,3, ∙∙∙) bo‘lsa, u musbat hadli sonli qator deb ataladi.
Masalan, umumiy hadlari

ko‘rinishda bo‘lgan sonli qatorlar musbat hadlidir.
1-TEOREMA (Taqqoslash alomati): Berilgan (1) va (2) musbat hadli sonli qatorlar bo‘lib, ularning hadlari и_n≤v_n (n=1,2,3, ∙∙∙) shartni qanoatlantirsin. Bu holda quyidagi tasdiqlar o‘rinli :
I. Agar (2) sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda (1) sonli qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bundan tashqari (1) va (2) sonli qatorlarning yig‘indisi mos ravishda S(u) va S(v) bo‘lsa, unda S(u)≤S(v) tengsizlik o‘rinli bo‘ladi ;