Reja: Ehtimollar taqsimoti funktsiyasi va ehtimollik zichligi funktsiyasi

Mulk 1. Tarqatish zichligi salbiy emas, ya'ni.

Mulk 2. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot funksiyasi dan to gacha bo'lgan diapazondagi zichlikning integraliga teng, ya'ni.

.

Mulk 3. Kesimdagi uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchiga urilish ehtimoli ushbu bo'limda olingan taqsimot zichligi integraliga teng, ya'ni.

.

Mulk 4. Tarqatish zichligining cheksiz chegaralaridagi integral birlikka teng:

.

2-misol. Tasodifiy o'zgaruvchi zichlik bilan taqsimlanish qonuniga bo'ysunadi

Koeffitsientni aniqlang; taqsimot zichligi grafigini qurish; saytdagi tasodifiy o'zgaruvchiga urilish ehtimolini toping; taqsimot funksiyasini aniqlang va uning grafigini tuzing.

Yechim. Tarqatish egri chizig'i bilan chegaralangan maydon son jihatdan teng

.

Tarqatish zichligining 4-xususiyatini hisobga olib, topamiz:. Shuning uchun tarqatish zichligi quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Tarqatish zichligi grafigi rasmda ko'rsatilgan. 10. 3-mulk bo'yicha bizda bor

.

Tarqatish funktsiyasini aniqlash uchun biz 2 xususiyatdan foydalanamiz:

.

Shunday qilib, bizda bor

Tarqatish funksiyasining grafigi rasmda ko'rsatilgan. o'n bir.

Tarqatish zichligi xossalari

Birinchidan, tarqatish zichligi nima ekanligini eslaylik:

Tarqatish zichligining xususiyatlarini ko'rib chiqing:

Mulk 1: Tarqatish zichligi funktsiyasi $ \ varphi (x) $ manfiy emas:

Isbot.

Bizga ma'lumki, $ F (x) $ taqsimot funksiyasi kamaymaydigan funktsiyadir. Ta'rifdan kelib chiqadiki, $ \ varphi \ chap (x \ o'ng) = F "(x) $ va kamaymaydigan funktsiyaning hosilasi manfiy bo'lmagan funktsiyadir.

Geometrik jihatdan bu xususiyat taqsimot zichligining $ \ varphi \ chap (x \ o'ng) $ funktsiyasining grafigi yoki yuqoriroq yoki $ Ox $ o'qining o'zida ekanligini anglatadi (1-rasm).

1-rasm. $ \ varphi (x) \ ge 0 $ tengsizligining tasviri.

Mulk 2:$ - \ infty $ dan $ + \ infty $ oralig'idagi taqsimot zichligi funktsiyasining noto'g'ri integrali 1 ga teng:

Isbot.

Tasodifiy o'zgaruvchining $ (\ alfa, \ beta) $ oralig'iga tushishi ehtimolini topish formulasini eslaylik:

2-rasm.

Tasodifiy o'zgaruvchining $ (- \ infty, + \ infty $) oralig'iga tushish ehtimoli topilsin:

3-rasm.

Shubhasiz, tasodifiy o'zgaruvchi har doim $ (- \ infty, + \ infty $) oralig'iga tushadi, shuning uchun bunday urish ehtimoli bittaga teng. Biz olamiz:

Geometrik jihatdan ikkinchi xususiyat shuni anglatadiki, egri chiziqli trapezoidning taqsimot zichligi funktsiyasi $ \ varphi (x) $ grafigi bilan chegaralangan va abscissa o'qi son jihatdan bittaga teng.

Qarama-qarshi xususiyatni ham shakllantirishingiz mumkin:

Mulk 3: Har qanday nomanfiy funksiya $ f (x) \ ge 0 $ tenglikni qanoatlantiruvchi $ \ int \ limits ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (f \ chap (x \ o'ng) dx) = 1 $ zichlik funksiyasi ba'zi uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar.

TARQATISH ZICHLIGINING EHTIMOLLIK MA'NOSI

$ x $ o'zgaruvchisiga $ \ triangle x $ ga o'sish beraylik.

Tarqatish zichligining ehtimollik ma'nosi: $ X $ doimiy tasodifiy o'zgaruvchining $ (x, x + \ uchburchak x) $ oralig'idan qiymatlarni olish ehtimoli $ nuqtadagi ehtimollik taqsimot zichligi mahsulotiga teng. x $ $ \ uchburchak x $ ortishi bilan:

Shakl 4. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot zichligining ehtimollik ma'nosining geometrik tasviri.

Sodiqov Rahimboy