Ряды Фурье Определение. Тригонометрическим рядом

1.4. Примеры разложения функций в ряд Фурье
Пример 1. Разложить функцию в ряд Фурье на отрезке .
Решение. Заданная функция четная, поэтому ряд Фурье будет иметь вид (1.1) и коэффициенты будем искать по формулам






Подставляя найденные коэффициенты в ряд Фурье, получаем

Составит алгоритм и программы



Пример 2.
Разложить функцию в ряд Фурье на отрезке [– π; π]. Решение. Заданная функция является нечетной, следовательно, ряд Фурье будет иметь вид (1.2) и коэффициенты ищем в виде




так как .
В итоге получаем:

Составит алгоритм и программы

На отрезке [– π; π] разложить функцию в ряд Фурье

Задания к практической работе.

		16.
		17.
		18.
		19.
		20.
		21.
		22.
		23.
		24.
		25.
		26.
		27.
		28.
		29.
		30.

	Разложить в ряд Фурье функцию в интервале (–π; π).
	Разложить в ряд Фурье функцию в интервале (–1; 1).
	Разложить в ряд Фурье функцию в интервале [– π; π].
	Разложить в ряд Фурье функцию в интервале (–1; 1).
	Разложить в ряд Фурье функцию в интервале [– π; π].
	Разложить в ряд Фурье функцию в интервале (–2; 2).
	Разложить в ряд Фурье функцию в интервале (–2; 2).
	Разложить в ряд Фурье функцию в интервале (–3; 3).
	Разложить в ряд Фурье функцию в интервале (–2; 2).
	Разложить в ряд Фурье функцию в интервале [–π; 2 π].
	Функцию в интервале (0, 2) разложить: а) в ряд косинусов; б) в ряд синусов. Построить графики сумм соответствующих рядов
	Функцию в интервале (0, 3) разложить: а) в ряд косинусов; б) в ряд синусов. Построить графики сумм соответствующих рядов.
	Функцию в интервале (0, π) разложить: а) в ряд косинусов; б) в ряд синусов. Построить графики сумм соответствующих рядов.
	Функцию в интервале (0, 2) разложить в ряд косинусов
	Функцию в интервале (0,1) разложить: а) в ряд косинусов; б) в ряд синусов. Построить графики сумм соответствующих рядов.
	Функцию в интервале (0,1) разложить: а) в ряд косинусов; б) в ряд синусов. Построить графики сумм соответствующих рядов.
	Функцию в интервале [– π; π] разложить: а) в ряд косинусов; б) в ряд синусов. Построить графики сумм соответствующих рядов.
	Разложить в ряд Фурье функции, заданные графически (задачи 1.12–1.20)

Требования к оформлению практически работ
Практической работы оформляются в тетради в виде отчета, который должен содержать:
1. Название практически работы.
2. Цель работы.
3. Номер варианта и задание.
4. Расчетная часть:
a. Краткое теоретическое описание метода.
b. Блок-схема алгоритма метода.
c. Ручной расчет.
d. Текст программы.
e. Результаты.
5. Выводы.


Метод наименьших квадратов при построении математической модели процесса.
Метод сбора статистических данных по природным явлениям, в экономике, в социальной сфере служит для выявления некоторых закономерностей в этих явлениях и построения краткосрочных и долгосрочных прогнозов для этих процессов. В качестве примеров таких исследований можно привести исследования по изменению экологии. Тревожные прогнозы по всемирному потеплению, загрязнению атмосферы, опасность связанная с исгазновением некоторых видов растений и животных и т.д. служат подтверждением вышесказанного.
Алгоритмы обработки и исследования статистических данных становятся актуальным и востребованным математическим аппаратом современной онформационной технологии. Как было сказано выше, многолетние наблюдения и накопленный материал, при правильном и грамотном отношении с ним может принести огромную пользу при планирование дальнейшей деятельности отдельных отраслей, и при координации действий всего мирового сообщества. В средствах массовой информации часто появляются сообщения или призывы такого типа.
Мы здесь ознакомимся с одним из подходов построения математических моделей на основе статистических данных. Предположим, что в результате наблюдений над некоторым являнием или собрал материал оформленный в виде таблицы

xi	x0	x1	x2	…	xn
fi	f0	f1	f2	…	fn

Здесь x_i – моменты времени, которым соответствует значения f_i. Мы пока отвлечемся от реального явления и физической сущности f_i. В реальности f_i – может быть температурой, давлением, ценой некоторого продукта, процент заглязнения атмосферы. Что бы там не было, суть задачи не меняется. Нам необходимо определить математическую модель зависимости f от x. Естественно напрашивается вопрос, нельзя-ли воспользоваться методом интерполяции и построить интерполяционный полином? В рассматриваемых нами задачах зависимость между x и f не может быть функциональной, так как существуют множество других факторов тем или иным образом влияющих на f. В таких случаях зависимость называют корреляционной. Поэтому построенная математическая модель в этом случае будет иметь не которую доверительную вероятность, которая тоже определяется в процессе построения математической модели.
Идея метода наименьших квадратов состоит в том, что из класса элементарных функций определенного типа, выбрать наиболее подходящий для данного случая вид. В качестве базисных можно выбрать многочлены степени k, которые имеют вид
(9.1)
В качестве нормы близости этого многочлена к данной табличной функции можно выбрать функционал
(9.2)
Таким образом приходим к задаче выбора из множества многочленов вида (9.1) такого, который соответствует минимальному значению функционала (9.2). Очевидно, что (9.2) имеет единственный минимум при
(9.3)
Сокращая на 2 обе части равенство (9.3) и раскрывая скобки приходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно
(9.4)
Решив систему (9.4) находим подставляя их в формулу (9.1) находим искомый многочлен. Возникает вопрос выбора наиболее подходящей степени многочлена (9.1), то есть k. При этом исходя из известных законов зависимости в природе и в технике ориентируются на малые значения k.
Мы здесь подробнее остановимся на случае линейной регрессии, то есть k=1. При этом система (9.4) примет достаточно простой вид
(9.5)
Если разделить равенства (9.5) на (n+1) и ввести обозначения

то решение (9.5) будет представлено в виде

Полученное при этом уравнение

называется уравнением линейной регрессии, если обозначим

(9.7)
то называется коэффициентом корреляции его значение оценивает достоверность построенной модели (2.6). Доказано, что не превосходит единицы. Чем ближе значение к единице тем достовернее будет линейная модель (2.6). При малых значениях приходится переходить к более сложным моделям. Например k=2, k=3 или k другим формам зависимости.
Еще одним из подходов в таких случаях может быть принцип получивший в алгоритмизации название «разделяй и властвуй». При этом всю таблицу мы можем разделить на две или более частей и к каждой части в отдельности применить изложенную методику. В этом случае мы получаем несколько формул действующих на отдельных интервалах времени

Это соответствует случаю, когда точки координаты которых соответствуют табличным расположены так как на рисунке
Рисунок 9.1

y

x
0 α β

Misol:

			i
0	0	-2	0	0	-2
1	0,1	-2,394	1	-2.2	1.9776
2	0,2	-2,772	2	-2.1	-2.9679
3	0,3	-3,128	3	-2.0	-6.9630
4	0,4	-3,456	4	-1.9	-10.1919
5	0,5	-3,75	5	-1.8	-12.6144
6	0,6	-4,004	6	-1.7	-14.3359
7	0,7	-4,212	7	-1.6	-15.4224