Statistik gipotezalar. Statistik gipotezalarni tekshirish alomatlari va ularning xossalari

2 Parametrik statistik alomat tuzish usullari

Oldingi paragrafda biz tekis eng quvvatli alomat haqida so‘z yuritdik. Tabiiyki t. e. q. alomat har doim mavjud bo‘lavermaydi. Endi parametrik statistik alomatlar orasida bo‘ladigan holni ko‘raylik. Faraz qilamiz, parametlar to‘plam Θ ikki elementdan iborat bo‘lsin: Θ = {θ₁,θ₂}. Asosiy gipoteza H₀ ga asosan θ=θ₀ bo‘lsin. U holda alternativ H₁ gipotezaga ko‘ra esa θ = θ₁ bo‘ladi.

Demak, shartga binoan biz o‘rganayotgan X t.m. H₀ gipotezaga asosan taqsimotga, ammo H₁ raqobatlashuvchi gipotezaga ko‘ra esa taqsimotiga ega bo‘ladi. Hajmi n – ga teng bo‘lgan (X₁,X₂, ..., X_n) tanlanma asosida qaysi gipoteza to‘g‘ri ekanini aniqlash kerak. Bu statistik masala Yu. Neyman va E. Pirsonlar tomonidan hal qilingan.
Faraz qilaylik, F₀(x) va F₁(x) taqsimot funksiyalar absolut uzluksiz taqsimot funksiyalar bo‘lib, mos ravishda f₀(x) va f₁(x) lar ularning zichlik funksiyalari bo‘lsin. Quyidagi nisbatni ko‘raylik

Mana shunday aniqlangan l(x) – haqiqatga o‘xshashlik nisbati deyiladi. Bu funksiya bilan bo‘g‘liq

ehtimollikni kiritamiz. Bu yerda с – soni Ψ(c) = α tenglama bilan aniqlanadi.

Teorema(Neyman – Pirson). Yuqorida keltirilgan shartlar bajarilganda har doim tekis eng quvvatli alomat mavjud va u quyidagi kritik to‘plam bilan aniqlanadi
.

Bu yerda c- kritik nuqta Ψ(c) = α tenglamadan topiladi.

T. e. q. alomat taqsimoti funksiyasi absolyut uzluksiz bo‘lgan hol uchun keltirildi. Ammo bunday alomat diskret taqsimotlar uchun ham mavjud bo‘ladi.
8.2 – misol. X₁,X₂, ..., X_n lar noma’lum θ o‘rta qiymatli va ma’lum σ² dispersiyali normal taqsimlangan t.m.ning bog‘liqsiz tajribalar natijasida olingan kuzatilmalari bo‘lsin. Asosiy gipotezaga ko‘ra H₀ : θ = θ₀, raqobatlashuvchi gipoteza H₁ ga ko‘ra θ = θ₁ va θ₁ > θ₀ bo‘lsin. Demak,


,

Endi haqiqatga o‘xshashlik statistik nisbati l(x) ni topaylik

U holda tengsizlik quyidagi

tengsizlikka ekvivalent. Oxirgi tengsizlikni quyidagicha yozish mumkin.

- tanlanma o‘rta qiymat θ₀ va - parametrlik normal qonun bo‘yicha taqsimlangani uchun

Bu yerda - Laplas funksiyasi. Tanlangan ixtiyoriy ehtimollik uchun, , tengliklar bajariladigan c_α soni har doim mavjud. Demak, Neyman – Pirson teoremasining barcha shartlari qanoatlantiriladi. Shu teoremaga asosan t. e. q. alomat mavjud va uning kritik to‘plami quyidagicha aniqlanadi.

,

Mana shu alomatning quvvatini hisoblaylik. Alternativ H₁ gipotezaga ko‘ra - tanlanmaning o‘rta qiymati θ₁ va - parametrli normal qonun bo‘yicha taqsimlangandir. U holda

(1)

(1) munosabatdan ikkinchi tur xatolik

ekanligi kelib chiqadi.
Endi quyidagi masalani ko‘raylik. Aliomatning qiymatdorlik darajasi α ga teng bo‘lganida, ikkinchi tur xatolik β ga teng bo‘lishi uchun nechta kuzatilma kerak?; ya’ni tanlanmaning hajmi qanday bo‘lishi kerak? Kerakli n soni topish uchun ikkita tenglamaga egamiz. Bular


va (2)


Φ(y)=p tenglamaning yechimini ko‘raylik. Bu tenglamaning yechimi y_p normal qonunning p – chi kvantili deyiladi. U holda (2) ga asosan . Oxirgi ikki tenglikdan munosabatga ega bo‘lamiz. Qidirayotgan son butun bo‘lishi lozim. Shuning uchun, . Bu erda [a] – a sonning butun qismi. Masalan, α=β=0.05 va bo‘lsa, u holda n^*=1076 bo‘ladi; agarda α=β=0.001, bo‘lsa, n^*=39 bo‘ladi.