|
1.2-§. Etarli statistika. Etarlilik kriteriysi
1.2.1-Ta’rif. tanlanmaning ixtiyoriy o‘lchovli funksiyasi statistika deb ataladi.
Bu erda to‘plam ning barcha mumkin bo‘lgan qiymatlari to‘plami, ga ning to‘plam ostilaridan tuzilgan -algebra. Demak, uchun . Tabiiyki, ning xajmi bo‘lishi zarurdir.
Matematik statistikaning asosiy masalasi kuzatilayotgan tanlanma nuqta orqali - statistik modeldagi asl taqsimotni aniqlashdan iboratdir. CHunki, aynan lar haqidagi ma’lumotga egadir. Agar statistik model tanlangan bo‘lsa, dagi ma’lumot oiladan asl ni tanlash imkonini beradi. YUqoridagi aytilganlarni e’tiborga olgan holda va dagi ma’lumotni yo‘qotmagan holda uning biror funksiyasini qo‘llash zarurati tug‘iladi. Tabiiyki, bunday statistikalar bir necha bo‘lishi mumkin va bu ular ichidan eng minimal xajmi (o‘lchov) dagisini tanlashimiz maqsadga muvofiqdir. Aynan mana shunday statistikalar etarli statistikalar deyiladi.
Misollar. 1) Bernulli tajribalari sxemasi.Bu erda { yoki }, . Noma’lum parametr uchun momentlar usuli va haqiqatga maksimal o‘xshashlik usullari orqali ko‘rsatish mumkinki, statistika orqali tuzilgan o‘rta qiymat uchun baho bo‘ladi. Faraz qilaylik, tanlanma qiymatida statistika qiymati bo‘lsin. Roppa-rosa ta 1 ni o‘z ichiga olgan ta tanlanmalar ichida qaysi biri amalda kuzatilayapti, degan ma’lumotni bilishimiz bizga nima yangi ma’lumot berar ekan. ga mos tanlanma fazo va unga mos shartli taqsimot esa
Bu shartli taqsimot ga bog‘liq emas va da aniqlangan yagona tekis taqsimotdir. Demak, ma’lumotdan tashqari boshqa ma’lumotlar ga bog‘liq bo‘lmagan bo‘lib, haqida barcha ma’lumotlar faqat da ekan.
2) Puasson modeli. Bu erda
,
. Bu holda ham ning har ikki usul orqali topilgan bahosi - o‘rta arifmetik qiymatdir. shartida shartli statistik model tanlanma fazosi va shartli taqsimoti
bu ifoda ga bog‘liq emas va polinomial taqsimotning xususiy xolidir. Bu erda ni hisoblashda biz statistika noma’lum parametri bo‘lgan Puasson taqsimotidan iborat ekanligi haqidagi ma’lumotdan foydalandik. Demak, bu holda ham shartli taqsimot ga bog‘liq emas va haqidagi barcha ma’lumot statistikada ekan.
YUqoridagi misollarni umumlashtirgan holda biz endi etarli statistikaning umumiy ta’rifiga kelamiz. Uni biz dastlab diskret model uchun keltiramiz.
Faraz qilamiz, - diskret statistik model bo‘lsin, ya’ni tanlanma - diskret taqsimotga ega tasodifiy miqdorni kuzatish natijasida olingan. Bu holda, ma’lumki - sigma algebra ning barcha to‘plam ostilaridan iborat bo‘ladi. Bu holda ixtiyoriy funksiya ga nisbatan o‘lchovlik bo‘ladi va demak statistika bo‘ladi. oiladan olingan ixtiyoriy uchun va berilgan statistika yordamida shartli taqsimotlar oilasini tuzamiz:
(1.2.1)
1.2.2-Ta’rif. diskret statistik model uchun statistika etarli statistika deb ataladi, agar har bir da shartli taqsimotlar ga bog‘liq bo‘lmasa.
Agar ekani hisobga olinsa, (1.2.1) dagi ni ko‘rinishda ham ifodalash mumkin. oila parametrik bo‘lgani holda (1.2.1) ni
(1.2.2)
ko‘rinishda yozamiz. (1.2.1) shartli taqsimotni hisoblash har doim ham oson bo‘lavermaydi. Amaliyotda uning o‘rniga etarli statistikani aniqlashning oson bo‘lgan ifoda o‘rinli bo‘lishligini, ya’ni etarlilik kriteriysi o‘rinli ekanini tekshirish qulaydir. Buni biz - parametrik oila bo‘lgan hol uchun tushuntiramiz. Demak, parametrik diskret statistik model bo‘lib, esa etarli statistika bo‘lsin. Biz
funksiyani aniqlab (1.2.2) tenglikni
(1.2.3)
ko‘rinishda yozib olamiz. Agar desak, u holda (1.2.3) ga asosan
. (2.4)
taqsimotni (2.4) dagidek ko‘paytma ko‘rinishida ifodalash faktorlashtirish deb ataladi. Bu erda funksiya ga bog‘liq emas va funksiya esa ga bog‘liq va ga statistika orqali bog‘liqdir. Tushunarliki, ni turli tanlash hisobiga faktorlashtirish tengligi ham yagona emasligi mumkin.
Demak, etarli statistika bo‘lsa, (1.2.4) ifoda o‘rinli ekan. Teskarisi ham o‘rinlidir. Faraz qilaylik (1.2.4) faktorlashtirish o‘rinli bo‘lib, biror statistika, funksiya ga bog‘liq, esa ga bog‘liq emas bo‘lsin. Biz ni etarli ekanini ko‘rsatamiz. U holda
. (1.2.5)
Agar desak, (1.2.5) ga asosan
. (1.2.6)
U holda (1.2.5) va (1.2.6) ga asosan
-ya’ni shartli taqsimot ga bog‘liq emas. Demak, etarli statistika ekan. Biz quyidagi teoremani diskret hol uchun isbotladik. Bu Neyman-Fisher teoremasidir.
1.2.1-Teorema (etarlilik kriteriysi). statistika diskret model uchun etarli statistika bo‘lishi uchun (1.2.4) faktorlishtirish tengligi o‘rinli bo‘lishi zarur va etarlidir.
Ushbu teorema noparametrik oila bo‘lgani holda ham o‘rinlidir.
Etarli statistika tushunchasi uzluksiz modellar uchun ham o‘rinlidir. modelda to‘plam dagi biror soha, esa ning to‘plam ostilarining Borel - algebrasi, esa - o‘lchovli zichlik orqali beriladi.
Misollar. 1) o‘lchov - o‘lchovlik zichlik funksiyasi bilan beriladi, bu erda - ixtiyoriy bir o‘lchovlik zichlik funksiyasi. bo‘lsin. statistik model noma’lum taqsimot funksiyasi zichligi bo‘lgan ta bog‘liq bo‘lmagan, bir-xil taqsimlangan tajriba natijalariga mos ehtimollik fazosidir. variatsion qator etarli statistika ekanini ko‘rsatamiz. Biz qarayotgan bu model noparametrik bo‘lib, u funksiya orqali aniqlanadi. Ma’lumki,
.
Demak, da ning zichligi bo‘ladi. Bu ifoda aynan faktorlashtirish tengligining zichlik funksiyasi orqali ifodasidir. Demak, variatsion qator etarli statistika ekan.
2) dagi tekis taqsimot zichlik funksiyasi bilan beriladi. statistika etarli bo‘lishini ko‘rsatamiz. tanlanma zichligini yozamiz
.
Bu ifoda aynan faktorlashtirish bo‘lib, bu erda . Demak, etarli statistika ekan.
Demak, diskret va uzluksiz xollarni umumlashtirish maqsadida umumlashgan zichlik funksiyasini kiritamiz:
U holda tanlanmaning umumlashgan zichlik funksiyasi bo‘ladi. Quyidagi teorema etarlilik kriteriysini umumiy variantidir.
1.2.2-Teorema (Neyman-Fisher). statistika etarli statistika bo‘lishining zarur va eterlik sharti ixtiyoriy uchun quyidagi tenglikning - o‘lchovga nisbatan bir ehtimollik bilan bajarilishidan iborat:
bu erda va lar manfiy bo‘lmagan o‘lchovli funksiyalardir.
Misol. Normal taqsimot zichligi
. Bu holda
bu erda . Demak, statistika - normal model uchun etarli statistika ekan.
Do'stlaringiz bilan baham: |
