Statistik model va etarli statistikalar

3.2-§. Statistik baholarning asimptotik etarliligi.

Biz 1-va 2-boblarda etarli statistika va uning xossalarini tanlanma xajmi fiksirlangan holda ko‘rib o‘tdik. Faktorlashtirish kriteriysi statistikaning etarliligining zaruriy va etarli shartlarini haqiqatga o‘xshashlik funksiyasining maxsus ifodasi orqali aniqlash imkoniyatini beradi.

Oldingi 3.1-§ da esa biz statistik baholarning cheksiz katta bo‘lganidagi asoslilik, asimptotik normallik va asimptotik effektivlik xossalarini ko‘rib o‘tdik. Ushbu paragrafda biz etarlilikni asimptotik nuqtasi nazardan ko‘rib o‘tamiz.
O‘tgan 3.1-§ dagi belgilashlar va shartlardan foydalangan holda haqiqatga o‘xshashlik funksiyasi logarifmini kiritamiz:


. (3.2.1)

(A)-(D)regulyarlik shartlaridan foydalanib, (3.2.1) funksiyani Teylor qatoriga quyidagi yoyilmasini qaraymiz:

(3.2.2)

bu erda .

(3.2.2) ga - asosli baho, ya’ni tenglama echimini qo‘yib so‘ng elementar amallarni bajarib quyidagi ifodani olamiz:


, (3.2.3)

Bu erda

. (3.2.4)

Ma’lumki, da katta sonlar qonuniga asosan ixtiyoriy uchun:

,
, (3.2.5)
.

Markaziy limit teoremaga asosan, da barcha uchun

.

Demak, (3.2.4)-(3.2.6) munosabatlardan da

(3.2.7)

ekani kelib chiqadi. (3.2.3) ni logarifmlardan ozod etib quyidagidek qayta yozib olamiz:

.(3.2.8)

(3.2.7) ga asosan uchun da

.

Demak, etarlicha katta larda deb belgilasak, u holda

, (3.2.9)

ya’ni birgalikdagi zichlik funksiyasi uchun faktorlashtirish ifodasi o‘rinli bo‘lmoqda. Bu esa statistikaning asimptotik etarli statistika deyishimizga asos bo‘la oladi.

Ammo biz bu xossani shartli taqsimotni hisoblash yo‘li bilan ham ko‘rsatishimiz mumkin. Buni biz qulaylik uchun diskret holda ko‘rsatamiz. Buning uchun (3.2.8) ning diskret hol uchun analogini yozib olamiz:


, (3.2.10)

bu erda . (3.2.10) dan ning sharti ostidagi shartli taqsimotini yozib olamiz:

bu ifoda ga bog‘liq emas va demak HMO‘B asimptotik etarli baho ekan. Demak, biz quyidagi da’voga ega bo‘lamiz.

3.2.1-Teorema. Faraz qilaylik, Fisher informatsiyasi funksiyasi musbat aniqlangan bo‘lib, (A)-(D)regulyarlik shartlari o‘rinli bo‘lsin. U holda ixtiyoriy HMO‘B uchun faktorlashtirish ifodasi asimptotik o‘rinli va demak baho asimptotik etarli bo‘ladi.


XULOSA

Ushbu magistrlik dissertatsiyasi matematik statistikada baholash nazariyasining eng asosiy tushunchalaridan biri-etarli statistika, uning xossalari va u bilan bog‘liq bo‘lgan da’volarni taxlil qilish masalalariga bag‘ishlangandir. Unda statistik model va unga mos etarli statistikani shartli taqsimotni hisoblash va etarlilik kriteriysini diskret va uzluksiz modellar uchun tekshirish yo‘llari bilan aniqlash masalalari misollar bilan batafsil taxlil qilingan. Dissertatsiyada statistikalarning etarlilik, minimal etarlilik va to‘liqlilik xossalari va ularning statistik baholash nazariyasidagi rollari ko‘rsatilgan, hamda senzurlangan ma’lumotlar uchun bu xossalarning saqlanib qolishi haqidagi da’volar isbotlangan.

Statistik tanlanmalar xajmlari etarlicha katta bo‘lganida statistikalar va xususan haqiqatga maksimal o‘xshashlik usuli bahosining asimptotik xossalari (asoslilik, asimptotik normallik va effektivlik) taxlil qilinib, bu baholar asimptotik etarli bo‘lishi haqidagi da’vo ham isbotlangan.