Toshkent axborot texnologiyalari universiteti huzuridagi dasturiy mahsulotlar va apparat dasturiy majmualar yaratish

Nyutonning birinchi interpolyatsion ko’phadi asosida sonli differensiallash formulasi.

Bizga
y(x)
funksiyaning [a, b] oraliqda teng uzoqlikda joylashgan

x_i (i  0, 1, 2, ..., n)
nuqtalarda
y_i 
f (x_i )
qiymatlari bilan berilgan bo’lsin.

Berilgan [a, b] oraliqda funksiyaning
y^ 
f ^(x),
y ^ 
f ^(x),...
hosilalarini topish

uchun,
y(x)
funksiyani
x₀ ,
x₁,..., x_k (k  n)
nuqtalardagi Nuyoton interplyasion

formulasi (polinumi) bilan almashtiramiz va quyidagiga ega bo’lamiz:

y(x)  y

• 
  qy
  

_ q(q 1) <sub>2 y

</sub> q(q 1)(q  2) _{3 y}

 ...

(3)

bu yerda
0 0

_{q } x  x_{0 ;}
h
2!
h  x_i1
0

• 
  x_i ;
  

3! ⁰
i  0, 1, 2, ... .

Binom ko’paytmalarni qavsdan ochsak quyidagini hosil qilamiz:

y(x)  y₀  qy₀ 
(q²  q) 2

2
 y₀ 

q³  3q²  2q 6

3
 y₀  ...

(4)

Shunday qilib

U holda

dy _ dy _ dq _ 1 dy dx dq dx h dq

_ 1 ^


2q 1 ₂


3q²  6q  2 ₃ ^

y (x)  _{h }y₀  ₂  y₀  ₆  y₀  ..._
(5)

Shu tarzda

ekanligidan

 


_{y(x) } d ( y^) _ d ( y^) _ dq
dx dq dx

_ ^{1 } 2 3


6q² 18q 11 ₄ ^

y (x)  _{h2 } y₀  (q 1)
y₀ 
₁₂  y₀  ..._
(6)

kelib chiqadi.

Shu usul bilan ega bo’lamiz.
y(x)
 

funksiyaning ixtiyoriy tartibli hosilasini hisoblash imkoniga

E’tibor bersak, x ning belgilangan nuqtasidagi
y^(x),
y ^(x), ...
hosilalarini

topishda x₀
keladi.
sifatida argumentning jadvalli qiymatiga yaqinini olishimizga to’g’ri

Bazan,
y(x)
funksiyaning hosilasini topishda asosan berilgan x_i

nuqtalardagi foydalaniladi. Bunda sonli differensiallash formulasi bir muncha qisqaradi. Shu tarzda jadvalli qiymatning har bir nuqtasini boshlang’ich nuqta deb

faraz qilib olsak, unda bo’lamiz:
x  x₀ ,
q  0
ko’rinishda yozsa bo’ladi va quyidagiga ega

_ 1 ^


² y ³ y ⁴ y



⁵ y ^

0
y (x₀ )  _{h } y₀ 
  
2 3 4
₅ ..._
(7)

 

y^(x )  ^{1 }² y



 ³ y  ¹¹ ⁴ y



 ⁵ ⁵ y  ...^

(8)

⁰ _h2 ^{ 0 0} ₁₂ ⁰ ₆ ^{0 }

Agar
 

P_k (x)-Nyuton interpolyatsion ko’phadining chekli ayirmalari

0 0 0
y , ² y , ... , ^k y
hosilasining xatoligi
va mos ravishda xatoligi
R_k (x)  y(x)  P_k (x)
bo’lsa, unda

bo’ladi.
R_k^ (x)  y^(x)  P_k^(x)

Oldingi ma’ruza mashg’ulotlarimizdan ma’lumki, interpolyatsion ko’phad xatoligi quyidagi shaklda:
_{R (x) } (x  x₀ )(x  x₁)...(x  x_k ) _{y(k 1) ( )  hk 1} q(q 1)...(q  k) _{y(k 1) ( )}
^k (k 1)! (k 1)!

Bu yerda  -
x , x , x ,..., x orasidagi ixtiyoriy son. Shu sababli
y(x) C^(k2)

0 1 2 k

ko’zlasak u holda quyidagiga ega bo’lamiz:
R^(x)  ^dRk

• 
  dq _
  

^k dq dx

_{ h}k
^ (k 1)
d d _


(k 1) _^

(k  1)! ^{ y
( )} _dq ^{q(q 1)...(q  k)} ^{ q(q 1)...} _{dq } ^y
( )_.

 

Shu yerdan bilib
x  x₀ ,
va q  0 hamda
^d _q(q 1)...(q  k)_

q0
dq
 (1)^k k!,
ekanligini

k
R_k^ (x₀ )  (1)
_hk
y
k 1


(k 1)
( ).

(9)

Shunday qilib
_y(k 1) _{( )}
ko’pgina hollarda baholash qiyinchilik tug’diradi, lekin h

ning kichik yaqinlashishida quyidagicha hisoblash mumkin:

demak

_y(k 1)


k 1

 y
( ) ^0
_hk 1

_ (1)^k
_k 1 _y

R_k (x₀ ) 
h k 1 ^.
(11)

Nyutonning ikkinchi interpolyatsion ko’phadi asosida sonli differensiallash

formulasi.
Funksiyani oxirgi nuqtalardagi birinchi interpolyatsion ko’phad orqali ifodalash amalyotda noqulayliklar tug’diradi. Bunday hollarda Nyutonning ikkinchi interpolyatsiyasi orqali ifodalash kerak bo’ladi. Sonli differensiallash jarayoni huddi birinchi interpolyatsion shaklda keltirib chiqariladi. Bunda ham

y(x)
funksiyaning [a, b] oraliqda teng uzoqlikda joylashgan
x_i (i  0, 1, 2, ..., n)

nuqtalarda
y_i 
f (x_i )
qiymatlari bilan berilgan bo’lsa,
y^ 
f ^(x),
y ^ 
f ^(x),...

hosilalarini topish uchun,
y(x)
funksiyani
x₀ ,
x₁,..., x_k (k  n)
nuqtalardagi

Nuyotonning ikkinchi interplyasion formulasi (polinumi) bilan almashtiramiz va quyidagiga ega bo’lamiz:

y(x)  y

• 
  qy
  

_ q(q 1) <sub>2 y

</sub> q(q 1)(q  2) _{3 y}

 ...

(12)

bu yerda
0 0

_{q } x  x_{n ;}
h
2!
h  x_i1
0

• 
  x_i ;
  

3! ⁰
i  0, 1, 2, ... .

Binom ko’paytmalarni qavsdan ochsak quyidagini hosil qilamiz:

y(x)  y₀  qy₀ 
Shunday qilib
(q²  q) 2

2
 y₀ 

q³  3q²  2q 6

3
 y₀  ...

(13)

U holda
dy _ dy _ dq _ 1 dy dx dq dx h dq

_ 1 ^


2q 1 ₂


3q²  6q  2 ₃ ^

y (x)  _{h }y_n  ₂  y_n  ₆  y_n  ..._
(14)

Shu tarzda

ekanligidan

 


_{y(x) } d ( y^) _ d ( y^) _ dq _,
dx dq dx

_ ^{1 } 2 3


6q² 18q 11 ₄ ^

y (x)  _{h2 } y_n  (q 1)
y_n 
₁₂  y_n  ..._
(15)

kelib chiqadi.

Shu usul bilan ega bo’lamiz.
y(x)
 

funksiyaning ixtiyoriy tartibli hosilasini hisoblash imkoniga

E’tibor bersak, bunda ham x ning belgilangan nuqtasidagi
y^(x),
y ^(x), ...

hosilalarini topishda x₀
sifatida argumentning jadvalli qiymatiga yaqinini

olishimizga to’g’ri keladi.

Shu tarzda jadvalli qiymatning har bir nuqtasini boshlang’ich nuqta deb

faraz qilib olsak, unda bo’lamiz:
x  x_n ,
q  0
ko’rinishda yozsa bo’ladi va quyidagiga ega

_ 1 ^ ² y ³ y



⁴ y ⁵ y ^


_

n
y (x_n )  _{h } y_n  ₂  ₃  ₄  ₅  ..._
(16)

 

y^(x )  ^{1 }² y



 ³ y  ¹¹ ⁴ y



 ⁵ ⁵ y  ...^

(17)

⁰ _h2 ^{ n n} ₁₂ ⁿ ₆ ^{0 }

Agar
 

P_k (x)-Nyuton interpolyatsion ko’phadining chekli ayirmalari

0 0 0
y , ² y , ... , ^k y
hosilasining xatoligi
va mos ravishda, xatoligi
R_k (x)  y(x)  P_k (x)
bo’lsa, unda

bo’ladi.
R_k^ (x)  y^(x)  P_k^(x)

Interpolyatsion ko’phad xatoligini baholash orqali, differensiallash xatoligi aniqlanadi.
_{R (x) } (x  x_k )(x  x_{k 1})...(x  x₀ ) _{y(k 1) ( )  hk 1} q(q 1)...(q  k) _{y(k 1) ( )}
^k (k 1)! (k 1)!

Bu yerda  -
x , x , x ,..., x orasidagi ixtiyoriy son. Shu sababli
y(x) C^(k2)

0 1 2 k
ko’zlasak u holda quyidagiga ega bo’lamiz:

R_k^ (x)
k

dR dq h
^k  

^ (k 1)

y

( )
^d _q(q 1)...(q  k)_  q(q 1)... <sup>d

</sup>_ y


(k 1)


( ^
)_.

dq dx
(k 1)!_
dq dq _

Shu yerdan

x  x_n , va


q  0

hamda
^d _q(q 1)...(q  k)_

q0
dq

 k!,

ekanligini bilib

quyidagiga ega bo’lamiz:



^hk (k 1)

R_k (x₀ )  _{k 1} y
( ).
(18)

Shunday qilib
_y(k 1) _{( )}
ko’pgina hollarda baholash qiyinchilik tug’diradi, lekin h

0
ning kichik yaqinlashishida quyidagicha hisoblash mumkin:

_y(k 1)


( ) 
_k 1 _{y h}k 1

demak


_{ 1 }k 1 _y

R_k (x₀ )  _{h k 1} .
(19)

Misol1. Jadvalda keltirilgan
y  lg x
funksiyaning qiymatlaridan foydalanib

y^(50)
ning qiymatini birinchi interpolyatsion almashtirishda foydalanib

hisoblang.

x	y	y	^2 y	^3 y
50	1,6990	414	-36	5
55	1,7404	378	-31
60	1,7782	347
65	1,8129

Yechish. Bu yerda h=5. Keltirilgan jadvalning oxirgi 3 ta ustunini chekli ayirmalar bilan to’ldiramiz, (8) formuladan foydalanib hisoblasak quyidagiga ega bo’lamiz:

Haqiqatdan ham

y^(50)  ¹ (0,0414  0,0018  0,0002)  0,0087.
5

y^  ¹  ¹

_ 1 _ 1

 0,0087.

^x x ln10 50 2,302585

Ko’rinib turibdiki sonli usuldagi hisob natijasi bilan analitik usuldagi hisob natijalarning 4 xona aniqlikdagi yaxlitlangan qiymatlari bir xil.