20
0
,....,
,
2
1
n
y
y
y
W
x
W
bo`lsa,
)
(
,
...
),
(
),
(
2
1
x
y
x
y
x
y
n
funksiyalar
sistemasi
b
a
,
da chiziqli erkli sistema bo`ladi.
n
- tartibli chiziqli bir jinsli
differensial tenglamaning
n
ta chiziqli erkli
yechimlari sistemasi uning
fundamental yechimlari sistemasi
deyiladi.
Teorema.
Agar
)
(
,
...
),
(
),
(
2
1
x
y
x
y
x
y
n
funksiyalar
chiziqli bir jinsli
differensial tenglama yechimlarining fundamental sistemasi bo„lsa, u holda
bu tenglamaning umumiy yechimi
)
(
,
...
),
(
),
(
2
1
x
y
x
y
x
y
n
yechimlarining
,
...
2
2
1
1
x
y
C
x
y
C
x
y
C
y
n
n
chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo„ladi, bu yerda
n
C
C
C
,
...
,
,
2
1
lar ixtiyoriy
o„zgarmaslar.
O`zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar.
Ushbu
0
...
1
)
1
(
1
)
(
y
a
y
a
y
a
y
n
n
n
n
(1.27)
tenglama
o`zgarmas koeffitsientlin - tartiblichiziqli bir jinsli differensial
tenglama
deyiladi. Bu yerda
n
a
a
a
...,
,
,
1
0
koeffitsientlar
- biror haqiqiy
sonlar. (1.27) tenglamaning fundamental yechimlari sistemasini topish
uchun uning
0
...
1
1
1
n
n
n
n
a
k
a
k
a
k
(1.28)
xarakteristik tenglamasi
tuziladi. (1.28) tenglama
n
- tartibli bo`lgani
uchun uning
n
ta
ildizi mavjud, ular haqiqiy yoki kompleks, orasida
karralilari ham bo`lishi mumkin.
(1.27) tenglamaning umumiy yechimi (1.28) tenglama yechimlarining
xarakteriga bog`liq quyidagicha tuziladi:
1) har bir
k
sodda haqiqiy yechimga umumiy yechimda
kx
Сe
ko`rinishdagi
qo`shiluvchi mos keladi;
2)
har bir
m
karrali
k
haqiqiy yechimga umumiy yechimda
kx
m
m
e
x
C
x
С
С
1
2
1
...
ko`rinishdagi qo`shiluvchi mos keladi;
3) har bir juft
i
k
2
,
1
qo`shma kompleks sodda yechimga umumiy
yechimda
x
С
x
С
e
x
sin
cos
2
1
ko`rinishdagi qo`shiluvchi mos keladi;
4) har bir juft
m
karrali
i
k
2
,
1
qo`shma kompleks yechimga umumiy
yechimda
x
x
C
x
С
С
x
x
C
x
С
С
e
m
m
m
m
x
sin
...
cos
...
1
2
1
1
2
1
ko`rinishdagi qo`shiluvchi mos keladi.
21
Xususan, ushbu
0
qy
y
p
y
(1.29)
o`zgarmas koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli
bir jinsli differensial
tenglamaning
0
2
q
pk
k
(1.30)
xarakteristik tenglamasi ildizlari uchun uch hol:
1)
haqiqiy va har xil
2
1
k
k
;
2)
haqiqiy va teng
k
k
k
2
1
;
3)
qo`shma-kompleks
i
k
2
,
1
bo`lishi mumkin.
Bu hollarga (1.29) tenglamaning quyidagi fundamental yechimlari va
umumiy yechimi mos keladi:
1)
x
k
x
k
x
k
x
k
e
C
e
C
y
e
y
e
y
2
1
2
1
2
1
2
1
,
,
.
2)
x
k
x
k
x
k
e
x
C
C
y
xe
y
e
y
1
2
1
2
1
2
1
,
,
.
3)
x
C
x
C
e
y
x
e
y
x
e
y
x
x
x
sin
cos
,
sin
,
cos
2
1
2
1
.
10-misol.
0
6
5
y
y
y
diffеrеnsial
tеnglamaning
umumiy
yеchimini tоping.
►Bеrilgan tеnglamaga mоs xaraktеristik tеnglamani tuzamiz:
.
0
6
5
2
k
k
Xaraktеristik tеnglamaning ildizlari
3
,
2
2
1
k
k
bo`lgani uchun
umumiy yеchim:
x
x
e
С
e
С
y
3
2
2
1
.◄
11-misоl.
0
9
6
y
y
y
diffеrеnsial
tеnglamaning umumiy
yеchimini tоping.
►
Bеrilgan tеnglamaning
0
9
6
2
3
k
k
k
xaraktеristik tеnglamasi
0
1
k
sodda va
3
3
2
k
k
ikki karrali haqiqiy
ildizlarga ega. Shuning uchun bеrilgan tеnglamaning umumiy yеchimi:
x
e
x
С
С
С
y
3
3
2
1
.◄
12-misоl.
0
13
4
y
y
y
diffеrеnsial tеnglamaning umumiy
yеchimini tоping.
►
Bеrilgan tеnglamaning xaraktеristik tеnglamasi
22
0
13
4
2
k
k
i
k
3
2
2
,
1
qo`shma-kompleks ildizga ega. Shuning uchun bеrilgan
tеnglamaning umumiy yеchimi:
x
С
x
С
e
y
x
sin
cos
2
1
2
.◄
13-misоl.
0
2
y
y
y
diffеrеnsial tеnglamaning
0
x
bo`lganda
7
,
8
y
y
bo`ladigan xususiy yеchimini tоping.
►
Bеrilgan tеnglamaga mоs xaraktеristik tеnglama va ildizlari
0
2
2
k
k
,
2
,
1
2
1
k
k
Dеmak, umumiy yechim:
x
x
e
C
e
C
y
2
2
1
. U holda
x
x
e
C
e
C
y
2
2
1
2
.
0
x
bo`lganda
7
,
8
y
y
bоshlang`ich shartlarga asоsan,
7
2
8
2
1
2
1
C
C
C
C
tеnglamalar sistеmasi hоsil bo`ladi. Оxirgi tеnglamalar sistеmasidan
5
,
3
2
1
C
C
larni aniqlaymiz. Shunday qilib,
izlanayotgan xususiy
yеchim:
x
x
e
e
y
2
5
3
.◄
O`zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli bo`lmagan differensial
tenglamalar.
Ushbu
)
(
...
1
)
1
(
1
)
(
x
f
y
a
y
a
y
a
y
n
n
n
n
(1.31)
tenglama
o`zgarmas koeffitsientli n – tartibli chiziqli bir jinsli bo`lmagan
differensial tenglama
deyiladi.
Teorema.
Chiziqli bir jinsli bo`lmagan differensial tenglamaning
umumiy yechimi tenglamaning biror xususiy yechimi va bu tenglamaga
mos chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi
yig`indusiga teng.
Chiziqli bir jinsli bo`lmagan differensial tenglama umumiy yechimini
topish uchun, agar unga mos chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning
umumiy yechimi ma‟lum deb hisoblasak, bitta xususiy yechimini aniqlash
kifoya.
Quyida o`zgarmas koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli
bo`lmagan
23
x
f
qy
y
p
y
(1.32)
tenglama uchun
ixtiyoriy o`zgarmasni variatsiyalash usulini
ko`rib
chiqamiz.
2
1
,
y
y
funksiyalar mos chiziqli bir jinsli tenglama (1.29) ning
fundamental yechimlari bo`lsin. U holda (1.32)ning umumiy yechimini
2
2
1
1
)
(
y
x
C
y
x
C
x
y
ko`rinishda qidiriladi, bu yerda
x
C
x
C
2
1
,
funksiyalar
x
f
y
x
C
y
x
C
y
x
C
y
x
C
2
2
1
1
2
2
1
1
0
tenglamalar sistemasidan aniqlanadi. Sistemaning yechimi esa
2
1
1
2
2
1
2
1
,
;
,
y
y
W
dx
x
f
y
x
C
y
y
W
dx
x
f
y
x
C
formulalardan topiladi.
Do'stlaringiz bilan baham: 
