Xvii bob. Ehtimollar nazariyasi asoslari

17.2§. Ehtimollarni qo’shish va ko’paytirish teoremalari. Shartli ehtimollar. Hodisalarning bog’liqsizligi.
Berilgan hodisaga qulaylik tug’diruvchi hollarni bevosita hisoblash ancha bo’lishi mumkin. Shuning uchun hodisaning ehtimolini hisoblashda uni boshqa soddaroq hodisalar kombinatsiyasi ko’rinishida ifodalash qulayroqdir. Biroq bunda boshqa hodisalarning kombinatsiyasi ko’rinishida ifodalashda hodisaning ehtimoli bo’ysunadigan qoidalarni bilish kerak. Quyida ular bilan tanishib o’tamiz.

1. Birgalikda bo’lmagan hodisalar ehtimollarini qo’shish teoremasi. Ikkita birgalikda bo’lmagan A va B hodisadan istalgan birining ro’y berish ehtimoli bu hodisalar ehtimollarining yig’indisiga teng:

.

Umuman har ikkitasi birgalikda bo’lmagan bir nechta hodisalardan istalgan birining ro’y berish ehtimoli bu ehtimollarining yig’indisiga teng:

.

Natija. Agar hodisalardan faqat bittasi albatta ro’y beradigan va ular birgalikda bo’lmagan hodisalar bo’lsa, u holda

.

Xususiy holda, agar A va hodisalar o’zaro qarama – qarshi hodisalarni ifodalasa, u holda

.

Bu teoremaga keyinroq misol ko’ramiz.

2. Shartli ehtimollar. Hodisalarning bog’liqsizligi. Hodisalarning ehtimolini aniqlash asosida biror S shartlar komleksi yotishini aytgan edik. Agar ehtimolni hisoblash S shartlar kompleksidan boshqa hech qanday shartlar talab qilinmasa bunday ehtimol, shartsiz ehtimol deyiladi. Ko’p hollarda A hodisaning ehtimolini biror B hodisa ( deb faraz qilinadi) ro’y bergan shartda hisoblashga to’g’ri keladi. Bunday ehtimol shartli ehtimol deyiladi va kabi belgilanadi. Agar ikkita A va B hodisadan birining ehtimoli ikkinchisining ro’y berishi yoki ro’y bermasligi natijasida o’zgarmasa, u holda bu hodisalar o’zaro bog’liqsiz hodisalar deyiladi, aks holda bu hodisalar o’zaro bog’liq hodisalar deyiladi.

Masalan, oq va qora sharlar solingan yashikdan olingan birinchi shar unga qayta solinsa, ikkinchi marta olingan sharning oq bo’lish ehtimoli birinchi olingan sharning oq yoki qora bo’lishiga bog’liq emas. Shuning uchun birinchi va ikkinchi shar olish natijalari o’zaro bog’liqsiz bo’ladi.

Aksincha, agar birinchi olingan shar yashikka qayta solinmasa, u holda ikkinchi marta shar olinishidagi natija birinchi marta shar olish natijasiga bog’liq ravishda o’zgaradi, chunki birinchi marta shar olinishi natijasida yashikdagi sharlarning sostavi o’zgaradi. Bu yerda biz bog’liq hodisalar misoliga egamiz.

Shartli ehtimollar uchun qabul qilingan belgilashlardan foydalanib, A va B hodisalarning o’zaro bog’liqsiz bo’lishi shartini

yoki

ko’rinishda yozish mumkin.