Занятие №10 Основные законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин Вид занятия: лекция (12)

Рис.1.1. График плотности распределения равномерного закона


Для интегральной функции распределения в соответствии с формулой взаимосвязи функции и плотности распределения, можно записать:

О кончательно с учётом свойств интегральной функции распределения для получим формулу
(1.2)


График функции распре­деления представлен на рис. 2.


Из формул (1) и (2) следует, что равномерное распределение является двухпараметрическим законом распределения, так как плотность и функция распределения определяются двумя параметрами «a» и «b», ограничивающими нижюю и верхнюю границу области возможных значений случайной величины.
Определим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей равномерное распределение:


(1.3)


Из формулы (3) следует, что при равномерном распределении математическое ожидание случайной величины равно середине интервала, определяющего область её возможных значений.
Найдём дисперсию по формуле:

П осле разложения разности кубов на сомножители и вычитания дробей для дисперсии получим:
(1.4)


С реднеквадратичное отклонение равномерно распределённой случайной величины будет равно:
(1.5)
Замечание. Обозначим че­рез R непрерывную случайную ве­личину, распределенную равномер­но в интервале (0, 1), а через r — ее возможные значения. Ве­роятность попадания величины R (в результате испытания) в интервал (с, d), принадлежащий интер­валу (0, 1), равна его длине:

Действительно, плотность рассматриваемого равномерного рас­пределения

Следовательно, вероятность попадания случайной величины R в ин­тервал (с, d) (см. Лекцию 2.8)

1. 
   Распределение Эрланга
   

Р аспределение Эрланга является двухпараметрическим законом распределения, используемым для вероятностного задания положи­тельных непрерывных случайных величин, что свойственно значительному большинству вероятностных задач. Плотность вероятности случайной величины, имеющей распределение Эрланга, определяется формулой

(2.1)
Как следует из формулы (2.1), плотность вероятности зависит от значения двух параметров k и λ. Параметр k называют порядком распределения Эрланга, и он может иметь целочисленные значения k = 0, 1,2,...
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, име­ющей распределение Эрланга, определяется формулами:

(2.2)

Получим функцию распределения F(x) для случайной величины, имеющей распределение Эрланга первого порядка k = 1. Подставляя формулу (2.1) в формулу взаимосвязи функции и плотности распределения, для F(x) получим:

(2.3)
Используем метод интегрирования по частям. Для этого введем обозначения:

Отсюда

В соответствии с принятыми обозначениями получим:

(2.4)
Формула (2.4) позволяет легко определить вероятность попадания в заданный интервал непрерывной случайной величины, имеющей распределение Эрланга первого порядка.

Графики плотности вероятности распределения Эрланга нулевого k = 0, первого k = 1 и второго порядка k = 2 при λ = 2 приведены на Рис.2.1 а), а графики функции распределения на Рис.2.2 b).

f(x)


Рис.2.1а) Графики плотности вероятности распределения Эрланга


Рис.2.1b) Графики функции распределения Эрланга
При более высоком порядке распределения Эрланга формула для функции распределения получается более сложной и в лекции не рассматривается.


3. Показательный (экспоненциальный) закон распределения.