Занятие №10 Основные законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин Вид занятия: лекция (12)

Показательное распределение является частным случаем распределения Эрланга при k = 0.
Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной вели­чины X. которое описывается плотностью

(3.1)

где λ – постоянная положительная величина.
Из выражения (3.1), следует, что показательное распределение определяется одним параметром λ.
Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от боль­шего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближенные значе­ния) разумеется, проще оценить один параметр, чем два или три и т. д. Примером непрерывной случайной вели­чины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последователь­ных событий простейшего потока.
Найдем функцию распределения показательного закона.

И так
(3.2)
Графики плотности и функции распределения показа­тельного закона изображены на рис. 3.1.


Рис.3.1.Графики плотности и функции распределения показательного закона


Найдем вероятность попадания в интервал (а, b) непрерывной случайной величины X, которая распреде­лена по показательному закону, заданному функцией распределения

Используем известную формулу вычисления вероятности попадания случайной величины в заданный интервал, а именно:


Учитывая, что получим:
( 3.3)
Значения функции можно находить по таблице.


Числовые характеристики показательного распределения
Пусть непрерывная случайная величина Χ рас­пределена по показательному закону

Найдем математическое ожидание, используя формулу её вычисления для непрерывной случайной величины:


И нтегрируя по частям, получим
(3.4)
Таким образом, математическое ожидание показатель­ного распределения равно обратной величине параметра λ.
Найдем дисперсию, используя формулу её вычисления для непрерывной случайной величины:

Интегрируя по частям, получим


С ледовательно:
(3.5)
Н айдем среднее квадратическое отклонение, для чего извлечем квадратный корень из дисперсии:
(3.6)
Сравнивая (3.4), (3.5) и (3.6), видно, что
( 3.7)
т. е. математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.
Показательное распределение широко применяется в различных приложениях финансовых и технических задач, например, в теории надежности.

4. 
   Распределение «хи-квадрат» и распределение Стьюдента.