1-§. Markaziy proyeksiyalash va uning xossalari. Proyektiv tekislik aksiomalari. Proyektiv fazo modellari §. Tekislik va fazodagi proektiv koordinatalar

2-§. Tekislik va fazodagi proektiv koordinatalar.

Faraz qilaylik V_n+1 haqiqiy (n+1) – o’lchovli vektor fazo bo’lsin. V _n+1 ning bazislari bo’lsin . Agar uchun (2.1) bajarilsa, bu bazislar o’zaro gomotetik deyiladi.

V_n+1 fazoning o’zaro gomotetik bo’lgan barcha bazislar to’plami P_n proektiv fazoning proektiv reperi deyiladi va B bilan belgilanadi.
Har bir bazis bitta va faqat bitta proektiv reperga B ga tegishlidir.
R=B( ) uchun (2.2), bu yerda x^α R , b x^α
larning hammasi birdaniga nolga teng emas.
(x⁰,x¹,x²,…xⁿ) - (n+1) ta haqiqiy sonlar.
M= f( ) nuqtaning R=B reperga nisbatan proektiv koordinatalar sistemasi deyiladi va M(x⁰,x¹,x²,…xⁿ) kabi belgilanadi.
Agar o’rniga ni olsak, proektiv reper Bni o’zi qoladi. B=B =B( ) va M nuqtani hosil qiluvchi bo’ladi. (y⁰,y¹,y²,…yⁿ) ham M ning B ga nisbatan koordinatalari bo’ladi.
bo’lgani uchun
bo’ladi.
Shunday qilib, Mni B ga nisbatan koordinatalari yagona ravishda aniqlanmay, balki ko’paytuvchiga ko’paytirishgacha aniqlik bilan ifodalanadi.
M(x⁰,x¹,x²…,xⁿ)=M( ) (2.3)
Proektiv reper proektiv nuqtalar orqali ham berilishi mumkin.
P_n: f (n+1) ta nuqta, lekin { } proektiv reperli yagona ravishda aniqlanmaydi.

Chunki { } larni { } ga gomotetik bo’lgan { } A₁ lar orqali ham ifodalash mumkin.
ni olaylik .U P_n da E=f( ) ni aniqlaydi. E- birlik nuqta deyiladi. O’zaro gomotetik bazislar uchun E yagonadir. Shunday qilib, E, A_α-(n+2)ta nuqta hosil qildik. Agar bu nuqtalarning har qanday (n+1) tasi dimPn dan kichik o’lchovli proektiv fazoga qarashli bo’lmasa, bu nuqtalar to’plami umumjoylashgan nuqtalar deyiladi (точки общего положения) .Shunday holda Pn da bitta va faqat bitta proektiv reper mavjud bo’lib bo’ladi.
Shunday qilib, to’g’ri chiziqda proektiv reper turli uchta nuqta bilan (A₀,A₁,E) bilan aniqlanadi. Tekislikda hech qanday uchtasi bir to’g’ri chiziqda joylashmagan to’rtta nuqta bilan, fazoda esa, umumjoylashgan beshta nuqta bilan, ya’ni uning hech qanday to’rttasi bir tekislikda yotmagan nuqtalar bilan aniqlanadi. Bizga ma’lumki, E da M nuqta X koordinataga ega bo’lsa , uning o’rniga X= sonlarni olsak x_1, x ₂ (x₂ 0) sonlar N nuqtaning bir jinslari koordinatalari deyiladi
N(x₁:x₂) kabi yoziladi.
Xuddi shuningdek, M=E₂ da M(x,y) bo’lsa, uning bir jinsli koordinatalari M(x₁:x₂:x₃) bo’lib X= , Y= shartni qanoatlantiradi va h. k
Proektiv tekislik P₂ da nuqtaning bir bir jinsli x₁,x₂,x₃ koordinatalaridan foydalanib, nuqtaning proektiv koordinatalarini kiritish mumkin.

Agar to’g’ri chiziq ax + by + c = 0 bo’lsa, uning bir jinsli kordinatalardagi tenglamasi ax₁ + bx₂ + cx₃ = 0 bo’ladi.( bu erda x = , y = )

A₁(1:0:0), A₂(0:1:0) , A₃(0:0:1), E(1:1:1), (A₂A₃): , (A₁A₃): , (A₁A₂): .



Proektiv koordinatalarni almashtirish.To’g’ri chiziq tenglamasi va uning koordinatalari.
Faraz qilaylik P₂ da B={A_1, A_2, A_3,.E} ga nisbatan berilgan bo’lib B ga nisbatan A¹₁(a_11,a_21,a₃₁), A₂¹(a_11,a_22,a₃₂), A¹₃(a_13,a_23,a₃₃), E¹(a_13,a_23,a₃₃₎
bo’lsa quyidagi
(3,1)

Matrisa B reperdan B’reperga o’tish matrisasi deyiladi.

Agar shart bajarilsa, vektorlar B bilan moslashgan deyiladi.
(3.2)

vektorlar B’ reperning ucharini hosil qiladi. U holda bo’ladi. vektorlar chiziqli erkli (komplanar emas) bo’lgani uchun, , vektorlarning B’ga mos bo’lishi uchun (4.1) matrisaning 4- ustuning elementlari mos ravishda 1-3 ustun elementlarining yig’indisidan iborat bo’lishi zarur. Bu holda B va B’ lar bir-biriga mos bo’lsa, ularning elementlarini quyidagiga moslashtirish mumkin. k₁, k₂, k₃ sonlarni topamizki, ular unda

(3.3)


Bo’lgani uchun (3.3) dan k 0, k 1, k 0 lar topiladi. Demak
(3.4)
B dan B¹ ga o’tish matrisasi bo’lib uning ustunlari moslashtirilgan.
Faraz qilaylik bo’lib, uning B va B¹ reperlarda u (x₁ ,x₂, x₃ ) va (x¹_1, x¹_2, x¹₃) ga ega bo’lsa, u holda


(3.5)
X nuqtaning koordinatalarini almashtirish formulari deyiladi, bu yerda .
Misollar:

1. 
   B dan B¹ ga o’tish matrisasi
   

Bo’lgan proektiv tekislik nuqtalarining kordinatalarini almashtirish formulasini yozing.

Berilgan matrisa ustunlari moslashgan (2+4+0 5) eng avval moslashtirish koeffisientlari k_1, k_2, k₃ larni topamiz.



Demak, (3.5) ga asosan


formulaga ega bo’lamiz.
Agar to’g’ri chiziqning B reperda tenglamasi u₁ x₁ + u₂ x₂+ u₃ x₃ = 0 bo’lsa, u₁, u₂ u₃ sonlar to’g’ri chiziqning proektiv koordinatalari deyiladi va a(u₁ ,u₂ ,u₃₎ kabi yoziladi.