1-§. Markaziy proyeksiyalash va uning xossalari. Proyektiv tekislik aksiomalari. Proyektiv fazo modellari §. Tekislik va fazodagi proektiv koordinatalar

Kurs ish mavzusining vazifalari:
1 Proyektiv tekislik va to’g’ri chiziqlar haqida tushunchaning o'qitilishining asosiy qoidalarini yoritish;
2. Proyektiv tekislik va to’g’ri chiziqlar formulalarini yoritish;
Kurs ish mavzusining ob’ekti. Proyektiv tekislik va to’g’ri chiziqlar mavzusini o‘qitish metodikasi va jarayoni.
Kurs ish mavzusining predmeti Proyektiv tekislik va to’g’ri chiziqlar mavzusini o‘qitish metodlari.
Kurs ish mavzusining tarkibi. Mazkur kurs ishi kirish qismidan, to’rtta paragraf xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat.


1-§. Markaziy proyeksiyalash va uning xossalari. Proyektiv tekislik aksiomalari. Proyektiv fazo modellari.

Proyektiv geometriyaning o’zi nima? Turli geometriyalar qanday paydo bo’ladi?

1.Aksiomatik metod bilan geometriya ko’rish mumkin.Masalan, Yevklid geometriyasi asosiy tushunchalar «nuqta » va «masofa» bo’lib, ular quyidagi aksiomalarni qanoatlantiradi:

2. F.Kleyn nazariyasi bilan geometriyalar ko’rish mumkin. Har bir geometriya biror almashtirishlar gruppasining invariantlarining o’rgatadi. Masalan, Yevklid geometriyasi harakatlar {D}, o’xshash almashtirishlar {R} gruppasining invariantlarini o’rgansa, Affin geometriyasi affin almashtirishlar gruppasini invariantlarini o’rganadi.

Proyektiv geometriya eng muhim geometriya bo’lib, Keli tabiri bo’yicha u «Hamma geometriya»larini o’z ichiga olgan bo’lib, proyektiv almashtirishlarning invariantlarini o’rgatadi. Proyektiv almashtirishning o’zi nima? Bu almashtirish ham tarixan kishilarning ehtiyojini qondirish maqsadida kelib chiqqan. Aniqrog’i, fazoviy figuralarni tasvir qilishdir. Masalan jismlarni ko’z orqali tasavvur qilish bunda M va M’ nuqtalarni birlashtiruvchi to’g’ri chiziqlarning hammasi bir S nuktadan – « ko’z qorachig’idan» o’tadi. Bunday akslantirishlarning ko’paytmasi Ponem ta’rifi bo’yicha proyektiv almashtirish deyiladi.
Uning asosiy xossalari quyidagilardan iborat.

1. 
   «Qarashli» munosabati saqlanadi. (1-chizma )
   

Agar bo’lsa bo’ladi.

2. 
   Kesmaning uzunligi va burchakning kattaligi o’zgaradi, chunki bunda bir to’g’ri chiziqda yotuvchi uchta nuqtaning oddiy nisbati saqlanmaydi (2-chizma)
   

ning bissektrisasi , . Demak,

3. 
   «orasida» tushunchasi saqlanmaydi. (4 – chizma).
   

4. Kesma nurga o’tishi mumkin (3-chizma)

Agar П П¹ bo’lsa, markaziy proyeksiyalash o’zaro bir qiymatli, aks holda ( ) markaziy proyeksiyalash o’zaro bir qiymatli emas (5-chizma).



Р- ning asli yo’q, Q¹ – ning tasviri yo’q. Shuning uchun tekislikdagi har bir to’g’ri chiziqni bitta cheksiz uzoqlashgan (maxsus) nuqta bilan to’ldiramiz. Har bir tekislik bitta(maxsus) yoki cheksiz uzoklashgan to’g’ri chiziq bilan to’ldiriladi. E₃ fazoni maxsusmas nuqta va maxsusmas to’g’ri chiziqlardan iborat maxsusmas tekislik bilan to’ldiramiz. Shu usul bilan rekostruksiya qilingan E₃ fazo proyektiv fazo deyiladi va Р₃ kabi belgilanadi. Shu munosabat bilan E₃ dagi to’g’ri chiziq va tekisliklarning o’zaro joylashuvi o’zgaradi. Masalan
1 Р₂ da yotuvchi ixtiyoriy ikkita to’g’ri chiziq o’zaro kesishadi.
2. Tekislikda yotmaydigan to’g’ri chiziq albatta bu tekislikni kesadi.
3. Ixtiyoriy ikkita tekislik to’g’ri chiziq bo’yicha kesishadi
Shuni ta’kidlash joizki, markaziy proyeksiyalash natijasida maxsusmas nuqta va maxsus (oddiy nuqtaga o’tishi) mumkin. Masalan 5-chizmadagi q’ to’g’ri chiziqning maxsusmas nuqtasi P ning oddiy nuqtasiga o’tadi. Buning uchun SQ//q’ topish kifoya. Bundan tashqari proyektiv geometriyani shu modelda o’rgatadigan bo’lsak, u holda E₃ dagi «orasida » «parallel», «kesmaning uzunligi», «burchakning kattaligi» tushunchalaridan foydalanishga to’g’ri keldi. Bu tushunchalar markaziy proyeksiyalashning invariantlari emas. Shu sababli, proyektiv fazoning boshqa modellari bilan tanishib chiqamiz.
1.Aksiomatik metod bilan qurilgan proyektiv fazo.
2.Kengaytirilgan Yevklid fazosi .
3.Vektor fazo yordamida qurilgan proyektiv fazo va h. zo.
Faraz kilaylik, V – (n+1) o’lchovli haqiqiy vektor fazo V’ shu fazoning bo’lmagan vektorlar to’plami bo’lsin V’ = V/{ }.
Ta’rif: Quyidagi ikki aksiomani bajaruvchi f :V¹ akslantirish mavjud bo’lsa, P - n o’lchovli proyektiv fazo deyiladi.
1⁰ f – syur’yektiv, ya’ni R dan olingan har bir element originalga ega.
2⁰
P - ning elementlarini nuqtalar deb ataladi va A,V,S,... kabi belgilanadi. Agar f( ) = x bo’lsa, x ni vektor hosil qildi deymiz. 2⁰ - aksiomadan ko’rinib turibdiki , Р dagi bitta nuqtani hosil qilgan vektorlar to’plami
V₁ /{ } dan iboratdir. Kolleniar bo’lmagan vektorlar turli nuqtalarni hosil qilganligi sababli Р_n cheksiz ko’p nuqtalardan iboratdir. Biz faqat Р₂ ba’zan Р₃ bilan shug’ullanamiz xolos.
Faraz qilaylik Р₃ ni hosil qilgan V₄ ning fazo osti bo’lmish V₂ , V₃ ni qaraylik. Agar V₁/{ } nuqtani hosil qilsa, V₂/{ } hosil qilgan elementlar to’g’ri chiziqlar, V₃/{ }hosil qilgan elementlar esa tekisliklar deb ataladi.
To’g’ri chiziqlar a,b,с,…… kabi , tekisliklar esa kabi belgilanadi.To’g’ri chiziqlar va tekisliklar ko’p nuqtalardan iborat bo’ladi. Bu modelda quyidagilarni ko’rsatish mumkin.
1.Р₃ da bir to’g’ri chiziqda yotmagan uchta nuqta bir tekislikda yotmagan to’rtta nuqta mavjuddir. (asoslang!)
2. Ikki A va B nuqtalar orqali bitta va faqat bitta to’g’ri chiziq o’tadi. Haqiqatan ham . Bunda
3. Bir to’g’ri chiziqda yotmagan uchta A,В,С nuqtalardan bitta va faqat bitta tekislik o’tadi.(Asoslang)
4. Agar A,В nuktalar tekislikka qarashli bo’lsa, (AВ) to’g’ri chiziq shu tekislikka qarashli bo’ladi.
5. Bir tekislikka qarashli har qanday ikki to’g’ri chiziq kesishadi.
6. Tekislikka qarashli bo’lmagan to’g’ri chiziq albatta uni kesadi.
7. , uchun bajarilishini isbotlang.
8. P₁, P₂ , P₃ ga misollar keltiring.