1-§. Markaziy proyeksiyalash va uning xossalari. Proyektiv tekislik aksiomalari. Proyektiv fazo modellari §. Tekislik va fazodagi proektiv koordinatalar

T a’rif: Agar A,B,C,D bir to’g’ri chiziqning 4 ta nuqtasi bo’lsa, hamda (AB,CD)<0 bo’lsa, A,B juft C,D juftni bo’ladi, (AB,CD)>0 bo’lsa, A,B juft C,D juftni bo’lmaydi (ajratmaydi) deyiladi.
Shuni ta’kidlash lozimki, agar biz d ni kengaytirilgan Evklid to’g’ri chiziq deb qarasak, (AB,CD) = (5.4) ga teng bo’ladi
Bundan tashqari (AB,CD )=(AB,C) dir. Chunki (AB,D )=1 dir
Agar kengaytirilgan to’g’ri chiziqda A(x₁), B(x₂), C(x₃), D(x₄) bo’lsa,
(AB,CD) = ekanligini ko’rsatish mimkin.

Faraz qilaylik S(a,b,c,d) S(A,B,C,D)
Ta’rif : S ga tegishli to’rtta a,b,c,d to’g’ri chiziqning murakkab nisbati deb
(5.5)
Agar S S bo’sh, (AB,CD)=(ab,cd) ekanligini ko’rsatish mumkin.

Haqiqatan ham , S = 0 bo’lib,
(AB,CD) = . Yoki bo’lmasa, boshqa usul bilan ham isbotlash mumkin

ekanligi kelib chiqadi.

4-§. Proyektiv almashtirishlar. Proyektiv almashtirishlar gruppasi. Proyektiv geometriya predmeti.

Ta’rif: Agar f almashtirish proyektiv tekislikdagi bir to’g’ri chiziqda yotuvchi nuqtalarni boshqa to’g’ri chiziqda yotuvchi nuqtalarni boshqa to’g’ri chiziqda yotuvchi nuqtalarga o’tkazib, 4 ta nuqtani murakkab nisbatini saqlasa, u holda f- proyektiv tekislikning proyektiv almashtirish deyiladi.

Lemma: 1. Faraz qilamiz Б ={A₁, A₂, A₃, E} va Б¹={A¹₁,A¹₂,A¹₃,E¹} proyektiv tekislikning ikkita reperi bo’lsin. Agar f: M(x_1,x_{2 ,}x₃)_Б M¹ (x¹₁.x₂.x₃.)_Б’ bo’lsa, f – proyektiv almashtirishdir.
Masalan: S(d) S(d¹) , A,B,C,D d , A¹ ,B¹ ,C¹ ,D¹ d’ , (AB, CD) =(A¹ B¹, C ¹D¹)
Lemma: 2 Agar f₁: A A¹ В В¹ С С¹
f: A A¹ B B¹ C C¹
u holda f₁(M) = f₂(M). Bu yerda A,В,С va A¹_{1 ,} В ¹, С ¹ d¹ to’g’ri chiziqqa qarashli nuqtalardir .
Lemmani isbot qilish uchun f₁(M) = M^{1 ,} f ₂ (M) = M¹¹ deb faraz qilaylik M¹=M¹¹ ekanligini ko’rsatishimiz lozim. (AВ,С M) = (A¹В¹,С¹M¹) (AВ,SM)=(A¹В¹,С¹M¹¹ ) dan (A¹В¹,С¹M¹¹)=(A¹В¹,С¹M¹) kelib chiqadi.
Bundan M¹ = M¹¹ ga ega bo’lamiz.
Teorema: Faraz kilaylik Б = {A₁, A₂ ,A₃ ,E} va Б¹ = {A₁¹ ,A ₂¹ ,A ₃ ^1, E¹} proyektiv tekislikka tegishli ikkita reper bo’lsin. U holda Б ni Б¹ ga o’tkazuvchi bitta va faqat bitta proyektiv almashtirish mavjuddir .
Bunda M ning Б ga nisbatan koordinatalari bilan M¹ ning Б¹ ga nisbatan koordinatalari o’zaro teng bo’ladi.

1. 
   Lemmaga asosan Б ni Б¹ ga o’tkazuvchi f proyektiv almashtirish mavjuddir. Bunda A(1,0,0) ,A(0,1,0), A(0,0,1) ,E(1,1,1) nuqtalar
   

A¹₁(1,0,0), A ₂ ¹(0,1,0), A₃¹(0,0,1), E¹(1,1,1) ( B¹ ga nisbatan) nuqtalarga o’tadi. Bunday f yagonadir.
Natija: Agar biror reperning uchlari va birlik nuqtasi f –almashtirishda invariant (qo’zg’almas) nuqta bo’lsalar, f - ayniy almashtirishdir.
Proyektiv almashtirishning xossalari:

1. 
   f natijasida bir to’g’ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta yana bir to’g’ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqtaga o’tadi,
   
2. 
   f-da ixtiyoriy reper bitta reperga o’tadi.
   
3. 
   f da to’g’ri chiziqni to’g’ri chiziqqa o’tkazadi.
   
4. 
   f to’g’ri chiziqlar dastasini yana to’g’ri chiziqlar dastasiga o’tkazadi.
   

Agar f: Б Б¹ , M(x_{1 ,}x_2,x ₃) M(x¹_1, x¹_2, x¹₃) va A₁ A¹₁ (a_11,a_21, a₃₂), A₂ A₂¹(a₁₂,a₂₂,a₃₂), A₃ A₃¹(a_13,a_22,a₃₃₎ va E(1,1,1) E¹ (a_1,a_2, a₃) bulsa, u xolda fning analitik ifodasi kuyidagicha buladi.


(6.1)

Va aksincha , f akslantirshning analitik ifodasi (6.1) ko’rinishda bo’lsa, f-proyektiv almashtirish bo’ladi.

To’g’ri chiziqdagi proyektiv almashtirish quydagi ko’rinishda bo’ladi.


(6.2)

Proyektiv almashtirishning teskari almashtirish proyektiv almashtirish bo’lishligi ravshan. Ketma-ket bajarilgan ikkita proyektiv almashtirishning ko’paytmasi (kompozisiyasi) yana proyektiv almashtirish bo’ladi. Qiskacha qilib aytganda, proyektiv almashtirishlar to’plam gruppa tashkil etadi.

Proyektiv almashtirishda tekislik-tekislikka, to’g’ri chiziq - to’g’ri chiziqqa o’tadi. Tekislikda shunday proyektiv almashtirishlar ham borki, ular

1. 
   Nuqtani – nuqtaga, to’g’ri chiziqni - to’g’ri chiziqqa o’tkazadi. Bunday almashtirishlar kolleniar deyiladi.
   
2. 
   Nuqtani to’g’ri chiziqqa, to’g’ri chiziqni nuqtaga o’tkazadi. Bunday almashtirishlar korrelsiya deyiladi.
   

Misol: S(a,b,c,….) S(A,B,C,…)
Tekislikdagi kolleasiyalar to’plami gruppa tashkil etadi.
Misollar.
1.Gomologiya. Proyektiv tekislikda biror S to’g’ri chiziqning har bir nuqtasini o’z-o’ziga o’tkazuvchi kolleneasiya gomologiya, berilgan bo’lsin. Bunday kollineatsiya gomologiya, S to’g’ri chiziq esa gomologiya o’qi deyiladi.

Agar S markaz gomologiya o’qida yotmasa, u holda gomologiya - giperbolik gomologiya deyiladi. Agar S markaz gomologiyaning o’qida yotsa , bu holda gomologiya - parabolik gomologiya deyiladi. Odatda gomologiya S markazi, o’qi va ikkita mos (A,A¹) nuqtalari bilan beriladi.

Gomologiyaning analitik ifodasi.

(6.3)
Ko’rinishda bo’ladi. Gomologiya markazi S( a_13, a₂₃, - a₁₁ ) bo’ladi.

1. 
   Agar S s (giperbolik gomologiya ) a₁₁
   
2. 
   Agar S s (parabolik gomologiya) = a₁₁
   

2. 
   Involyutsiya. To’g’ri chiziq ayniy bo’lmagan proyektiv almashtirish o’zining teskari almashtirishi bilan bir xil bo’lsa , bunday almashtirish involyutsion almashtirish yoki involyutsiya deyiladi .
   

Faraz qilaylik , f
(6.4)
bilan berilgan bo’lsin.

Tarifga ko’ra ff^-1= J (ayniy almashtirish). Buning uchun a = - d shart bajarilishi kerak
(6.5)
Endi involyutsiyaning qo’zg’almas nuqtalarini topamiz, ya’ni x¹₁= x₂, x¹₂ = x₂ Ёки
sistema 0 dan farqli yechimga ega bo’lishi uchun


(6.6)

Involyutsiyaning quyidagi turlari mavjud.

1) a² + вс 0 qo’zg’almas nuqta mavjud emas, elliptik involyutsiya.
2) a² + вс >0 qo’zg’almas nuqta mavjud giperbolik involyutsiya.
3) a² + вс = 0 bitta qo’zg’almas nuktaga ega. Parabolik involyutsiya.
Proyektiv almashtirishlar gruppasining invarantlarini proyektiv geometriya o’rgatadi. Proyektiv geometriyaning tushunchalariga misol qilib, hozircha nuqta, to’g’ri chiziq, tekislik, uchburchak, to’rtta nuqtaning murakkab nisbati kabilardan ko’rsatish mumkin. Uning boshqa tushunchalari bilan asta sekin tanisha boshlaymiz. Asosiy invariant to’rtta nuqtaning murakkab nisbatidir. «Orasida», «kesma uzunligi »
«burchakning kattaligi» « uchta nuqtaning oddiy nisbati», «aylana» kabi tushunchalar kontr misol bo’la oladi.

Xulosa
Kurs ishida proyektiv tekislik va to’g’ri chiziqlar haqidagi nazariy tushunchalar va amaliy tadbiqlarini iloji boricha keng va sodda holda ifodalashga harakat qilindi. Qiziqarli, amaliy ahamiyatli misol va masalalar tanlanib yechimlarni to‘la va tushunarli yoritishga erishildi.
Kurs ishi talabalarga yechilishi talab etilayotgan masalalarning matematik modelini yarata bilishni, ilmiy adabiyotlardan mustaqil foydalana olishni, olgan bilimlarini amaliyotga tadbiq qilishni shakllantiradi. proyektiv tekislik va to’g’ri chiziqlar amaliy tadbiqlari bo‘yicha mustaqil ish topshiriqlarini bajarish talabalarda yetarli bilim va ko‘nikmalar hosil qiladi.
Ishning nazariy ahamiyati shundan iboratki, unda mavzuning mohiyati, mazmuni va amaliy masalalarni yechish jarayonida tutgan o‘rni nazariy jihatdan asoslandi. Nazariy tushunchalar, yechish usullari, ko‘plab misol va masalalar va yechimlari keltirildi.
Ishning amaliy ahamiyatini, ya’ni, ko‘plab amaliy masalalarni integrallardan foydalanib yechish mumkinligi misol va masalalar orqali ko‘rsatib berildi.
Ishda keltirilgan ma’lumotlardan proyektiv tekislik va to’g’ri chiziqlar haqida ma`ruza va amaliy mashg‘ulotlarda foydalanish mumkin.