1-§. Markaziy proyeksiyalash va uning xossalari. Proyektiv tekislik aksiomalari. Proyektiv fazo modellari §. Tekislik va fazodagi proektiv koordinatalar

3-§. To’g’ri chiziqning to’rtta nuqtasining murakkab nisbati. Dastadagi to’rtta to’g’ri chiziqning murakkab nisbati

Faraz qilaylik d to’g’ri chiziq A,B,C,D to’rtta nuqta berilgan bo’lsin.

B₀=(А,В,С) - d dagi proektiv reper bo’lsin.
Bu reperda D(x_1, x₂) bo’lsin. Agar D A bo’lsa, x₂ 0 bo’ladi.
Ta’rif: A,B,C,D nuqtalarning murakkab (angarmonik ) nisbati deb soniga aytiladi va quyidagicha belgilanadi.
(AB,CD)= (x₂ 0) (5.1)
Teorema: Agar A,B,C nuqtalar d to’g’ri chiziqning turli nuqtalari, - ixtiyoriy haqiqiy son bo’lsa u holda d to’g’ri chiziqda shunday yagona D nuqta mavjud bo’lib, (AB,CD)= bo’ladi.
Isboti: Faraz qilaylik B₀= (A,B,C) bo’lib, X nuqtaning koordinatasi ( ,1) bo’lsin. U holda (AВ,CX)= . Endi bu nuqtaning yagona ekanligini, ya’ni X=D ekanligini ko’rsatamiz. Faraz qilaylik D(x₁,x₂) bo’lsin, ya’ni (AB,CD)= . U holda ta’rifga asosan = /1 = bo’ladi.
Koordinatalari proporsional bo’lgani uchun X=D
Natija: Bir to’g’ri chiziqda yotyan A,B,C,D va D¹ nuqtalar uchun (AB,CD)=(AB,CD¹) shart bajariladi, u holda D¹=D.
Teorema^*: (Isbotsiz)
Agar bir to’g’ri chiziqda yotuvchi A,B,C,D nuqtalar biror B reperga nisbatan A(a₁,a₂), B(b₁,b₂), C(c₁,c₂), D(d₁,d₂) koordinatalarga ega bo’lsalar hamda A,B,C lar turli nuqtalar bo’lib, D A bo’lsa


(5.2)

Misol: A(1,0), B(0,1), C(1,1) D(x₁,x₂) bo’lsa (AB,CD)= ekanligini isbotlang (5.2) ga ko’ra,

(5,1) bilan solishtiring !
To’g’ri chiziqdagi to’rtta nuqtaning murakkab nisbati , quyidagi xossalarga ega:
1^0. (AB,CD)=(CD, AB) Koordinatalarni belgilab, (5.2) dan foydalanib isbotlang
2⁰ (AB,DC) = yoki (BA,CD) =
Bundan (BA,DC) = (AB,CD) kelib chiqadi.
3⁰ (AB,CC) = 1, (AB, CB) = 0, (DB,C ) = . Demak, A(1,0), B(0,1), C(1,1) D(x₁,x₂) ekanligi ma’lum bo’ladi.
4⁰ (AD,BC) =1 – (AB ,CD)
Shuni isbotlaylik:
B₀ = (A,B,C), D(d₁,d₂), A(1,0), B(0,1),C(1,1) U holda (5.2) ga asosan

Yuqoridagi xossalardan foydalanib, A,B,C,D nuqtalar yordamida tuzilgan ixtiyoriy tartibdagi (24 ta ) 4 ta nuqtaning murakkab nisbatini topamiz. Masalan, (AB, CD)= bo’lsa, (AD,BC) ni topaylik 4 ga asosan (AD,BC) = bo’lsa, (AD,BC) =1- = 1- = .