1. Ko`p o`zgaruvchili funksiyaning gradienti

5. Eng sodda ratsional kasrlarni integrallash
Ikki ko`phadning nisbati kasr-ratsional funksiya yoki ratsional funksiya deyiladi. Agar m < n bo`lsa, ratsional kasr to`g`ri, mn bo`lsa, ratsional kasr noto`g`ri kasr bo`ladi. Ratsional kasr noto`g`ri bo`lgan hoda kasrning suratini maxrajiga, ko`phadni ko`phadga bo`lish yo`li bilan uning butun qismini ajratish kerak.
Quyidagi kasrlar:
I. ;
II. (m  2 va butun);
III. (maxrajning diskriminanti );
IV. (n  2 va butun, D < 0)
bu yerda A, B, p, q, a – haqiqiy sonlar.
eng sodda ratsional kasrlar deyiladi.
I va II turdagi sodda kasrlar integrallash jadvaliga oson keltiriladi: I. ;
II. .
III turdagi sodda kasrning integralini topish uchun suratda kasrning maxrajidan olingan hosilani ajratamiz:
.
U holda





.

Endi IV turdagi integralni hisoblaymiz. Suratda maxrajning hosilasini ajratamiz:

U holda
.

Birinchi integral darhol hisoblanadi:

.
Ikkinchi integralda quyidagi almashtirishlar bajaramiz:
va

U holda hosil bo`ladi. Demak, IV turdagi integral rekurrent formula yordamida bajariladi.

6. Trigonometrik funksiyalar qatnashgan ifodalarni integrallash.
a) ko`rinishdagi integral, bu yerda R – ratsional funksiya. Ushbu turdagi integral o`rniga qo`yish bilan z o`z-garuvchili:
x = 2arctgx; ratsional funksiyaning integraliga almashtiriladi;
b) funksiya sinx ga nisbatan toq bo`lsa, ya`ni bo`lsa, z = cosx, dz = - sinxdx o`rniga qo`yish bilan ratsionallashtiriladi;
c funksiya cosx ga nisbatan toq bo`lsa, z = sinx, dz = cosxdx o`rniga qo`yish bu funksiyani ratsionallashtiradi;
d) funksiya sinx va cosx ga nisbatan juft bo`lsa, z = sinx, dz = cosxdx o`rniga qo`yish bilan ratsionallashtiriladi;
e) ko`rinishdagi integral, bu yerda m, n – natural sonlar.
Bu integral m va n sonlarining juft yoki toqligiga qarab:

1. 
   Agar m yoki n toq bo`lsa, mos ravishda z = sinx va z = cosx
   
2. 
   Agar m va n juft bo`lsa,
   

darajani pasaytirish formulalaridan foydalanib ratsionallashtiriladi.

Misol. Ushbu integralni hisoblang.
Bu misolda va bo`lgani uchun, ya`ni funksiya cosx ga nisbatan toqligi uchun, z = sinx, dz = cosxdx o`rniga qo`yish bu funksiyani ratsionallashtiradi:
.
f) , ,
ko`rinishdagi integrallar trigonometrik funksiyalarning ko`paytmasini yig`indiga almashtiruvchi formulalar



yordamida integrallar jadvaliga keltirilib hisoblanadi.