1. Ko`p o`zgaruvchili funksiyaning gradienti

2. Yuqori tartibli xususiy hosilalar
Faraz qilaylik, M₀ nuqta va uning atrofida funksiya xususiy hosilaga ega bo`lsin.
Birinchi tartibli xususiy hosilalardan x<sub>i</sub> o`zgaruvchilar bo`yicha M<sub>0</sub> nuqtada olingan xususiy hosilalar ikkinchi tartibli xususiy hosilalar deb aytiladi va quyidagicha belgilanadi: . Turli o`z-garuvchilar bo`yicha olingan xususiy hosilalarga aralash xususiy hosilalar deyiladi. Xuddi shuningdek, ikkinchi tartibli xususiy ho-silalardan olingan xususiy hosilalar uchinchi tartibli xususiy hosilalar deyiladi va h.k.
3-misol. funksiyaning barcha ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini toping.
Yechish.
a) birinchi tartibli xususiy hosilalarni topamiz:


;
b) ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni topamiz:
,
,
.
3. Funktsiyaning lokal ekstremumlari. Statsionar nuqta. Ekstre-mumning zaruriy sharti.
funksiya M₀ nuqta r atrofi S_r(M₀) da aniqlangan bo`lsin.
Agar M<sub>0</sub> nuqtaning S<sub>r</sub>(M<sub>0</sub>) atrofiga tegishli barcha lar (M  M<sub>0</sub>) uchun < ( > ) munosabatlar bajarilsa, M<sub>0</sub> nuqta lokal minimum (maksimum) nuqta deyiladi.
Lokal maksimum va minimum nuqtalarga funksiyaning lokal ekstremum nuqtalari deb ataladi.
Agar nuqtada funksiyaning gradienti nol vektor bo`lsa, ya`ni

u holda bu nuqta funksiyaning statsionar nuqtasi deyiladi.
4-misol. funksiyaning statsionar nuqtasini toping.
Yechish: Ikki o`zgaruvchili funksiyaning ixtiyoriy gradienti nuqtada
ga teng.
bo`lishi uchun bajarilishi kerak. Sistema yechimi , demak M₀(-1;4) statsionar nuqta.


Funktsiya ekstremumining zaruriy sharti
Agar differensiallanuvchi funksiya M₀ nuqtada ekstre-mumga ega bo`lsa, u holda uning shu nuqtadagi xususiy hosilalari nolga teng bo`lish zarur:
, .