1. Ko`p o`zgaruvchili funksiyaning gradienti

Aniq integral


1. Asosiy tushunchalar. Aniq integral
[a,b] kesmada uzluksiz yoki bo`lakli uzluksiz funksiya uchun integral yig`indi deb,

ifodaga aytiladi. Bu yerda n - [a,b] kesma ajratilgan qismiy (kesma) intervallar soni, - uzunligi x_i (1-rasm) ga teng bo`lgan [x_i-1, x_i] kesmaga tegishli ixtiyoriy nuqta.

1-rasm
funksiyaning [a,b] kesmada aniq integrali deb, ushbu

integral yig`indi eng katta qismiy kesma nolga intilgandagi limitiga aytiladi va kabi belgilanadi. Bu yerda a va b sonlar integrallashning quyi va yuqori chegarasi deyiladi.
Shunday qilib, aniq integralning ta`rifidan:

2. Aniq integralning asosiy xossalari.
Aniq integralning asosiy xossalarini keltiramiz:
1 . Aniq integralning chegaralari almashtirilsa, integralning ishorasi o`zgaradi:

2 . Ixtiyoriy a, b va c sonlar uchun (a < c < b)

3 . O`zgarmas ko`paytuvchini aniq integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin:

4 . Chekli sondagi funksiyalar algebraik yig`indisining aniq in-tegrali qo`shiluvchilar aniq integrallarining yig`indisiga teng.

5 . (O`rta qiymat haqida teorema). Agar funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo`lsa, kamida bitta shunday x = c[a,b] nuqta topiladiki,

tenglik bajariladi.
6 . (Nyuton-Leybnits teoremasi). Agar F(x) funksiya, uzluksiz funksiyaning biror bir boshlang`ich funksiyasi bo`lsa

Nyuton-Leybnits formulasi o`rinli bo`ladi.
3. Aniq integralni hisoblash qoidalari
a) Nyuton-Leybnis formulasi. Aniq integralni hisoblashning asosiy yagona aniq usuli integral ostidagi funksiya uchun boshlang`ich funksiyani aniqlash va so`ngra Nyuton – Leybnits formulasini qo`llash-dir. Uni quyidagicha yozish mumkin:
.
Shunday qilib, aniq integralni bevosita integral yig`indi limiti sifati-da emas, balki Nyuton-Leybnits formulasi bo`yicha hisoblash mumkin;
b) Aniq integralda o`zgaruvchini almashtirish. integral berilgan bo`lsin. funksiya [a, b] intervalda uzluksiz funksiya. x=(t) o`zgaruvchini almashtirish bilan integrallash o`zgaruvchisi t bo`lgan yangi aniq integralga kelamiz. Bunda (t), (t) funksiyalar [, ] intervalda uzluksiz hamda x = (t) funksiya  va  ni mos ravishda a va b ga o`tkazadi, ya`ni
() = a, () = b.
Bu shartlar bajarilganda

formula o`rinli bo`ladi;
c) Aniq integralda bo`laklab integrallash. Faraz qilaylik, u(x) va v(x) funksiyalar [a, b] intervalda differensiallanuvchi funksiyalar. Aniq integralda bo`laklab integrallash quyidagi formula

bo`yicha amalga oshiriladi;
d) Agar: 1) funksiya toq bo`lsa, ya`ni , u holda
;
2) funksiya juft bo`lsa, ya`ni , u holda
.
Aniq integralning geometrik ma`nosi quyidagicha: Aniq integral yuqoridan  0 funksiyaning grafigi, quyidan 0x o`qi, yon tomonlari esa x = a va x = b to`g`ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasiga son jihatdan teng bo`ladi (2-rasm).

2-rasm
Misollar. Integralni hisoblang: a) ; b)
a) 
b)