1. Ko`p o`zgaruvchili funksiyaning gradienti

4. Ikki o`zgaruvchili funksiya ekstremumining yetarli sharti
Ikki o`zgaruvchili funksiya uchun quyidagi belgilashlar kiritaylik:
va bo`lsin.
U holda:
1) agar B<sup>2</sup>-AC<0 bo`lsa, M₀ statsionar nuqta lokal ekstremum nuqtasi bo`lib,
a) A < 0 bo`lsa, maksimum nuqtasi;
b) A > 0 bo`lsa, minimum nuqtasi.

2) agar B²-AC > 0 bo`lsa, u holda M<sub>0</sub> statsionar nuqta ekstremum nuqtasi bo`lmaydi;

3) agar B²-AC = 0 bo`lsa, u holda bu nuqta ekstremum nuqtasi bo`lishi ham, bo`lmasligi ham mumkin. Masala yechimi qo`shimcha tekshirishni talab etadi.
Aniqmas integral
1. Boshlang`ich funksiya va aniqmas integral
[a, b] kesmada aniqlangan funksiya uchun ushbu kesmaning barcha nuqtalarida

tenglik bajarilsa, u holda funksiya shu kesmada funksiyaning boshlang`ich funksiyasi deyiladi.
Masalan: funksiyaning hosilasi ga teng. Shuning uchun, funksiya funksiyaning boshlang`ich funksiyasi bo`ladi.
Teorema (boshlang`ich funksiya mavjudligi haqida).
Har bir uzluksiz funksiya, bir-biridan ixtiyoriy o`zgarmasga farq qiluvchi cheksiz ko`p boshlang`ich funksiyalarga ega.
Boshlang`ich funksiyaning umumiy ko`rinishi berilgan funksiyaning aniqmas integrali deyiladi, bu yerda C – ixtiyoriy o`zgarmas son va

kabi belgilanadi. Bunda - integral belgisi, - integral osti funksiyasi, - integral ostidagi ifoda, - integrallash o`zgaruvchisi.
2. Asosiy integrallar jadvali
Asosiy integrallar jadvali quyidagi formulalardan iborat:
1.  ; 2.  ;
3.  ; 4.  ;

5.  ; 6.  ;

7.  ; 8.  ;

9.  ; 10.  ;

11.  ; 12.  ;

13.  ; 14.  ;

15.  .