1-mavzu: Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarning kanonik formalari va tavsifi. Xarakteristik tenglamasi. Koshi masalasining qo‘yilishi. Bir o’lchovli to’lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi. Dalamber formulasi

Amaliy mashg`ulot misollari 
I. 
xx
tt
u
a
u
2
=
tenglama uchun 
0
>
,
<
<
0
t
l
x
yarim yo'lakda qo'yilgan quyidagi 
masalalarning yechimi topilsin: 
1. 
=0
2
4
(0, ) = 0, ( , ) = 0, ( , 0) =
(
),
|
= 0, > 0
t
x
h
u
t
u l t
u x
x l
x u
h
l

2. 
=0
5
(0, ) = 0, ( , ) = 0, ( , 0) = 0,
|
= sin
t t
x
u
t
u l t
u x
u
l

3. 
=0
=0
(0, ) = ( , ) = 0, |
= sin 7 ,
|
= 0, = 1, = 1
t
t t
u
t
u l t
u
x u
a
l
4. 
=0
=0
2
(0, ) = ( , ) = 0, |
= 0,
|
= sin
t
t t
u
t
u l t
u
u
x
l

5. 
=0
=0
5
(0, ) =
( , ) = 0, |
= sin
,
|
= sin
2
2
x
t
t t
u
t
u l t
u
x u
x
l
l


6. 
=0
=0
3
5
(0, ) = ( , ) = 0, |
= cos
,
|
= cos
cos
2
2
2
x
t
t t
u
t
u l t
u
x u
x
x
l
l
l




7. 
=0
=0
(0, ) =
( , ) = 0, |
= ,
|
= 1
x
x
t
t t
u
t
u l t
u
x u
8. 
=0
=0
(0, ) =
( , ) = 0, |
= cos 2 ,
|
= 3cos 5 , = 1, = 1
x
x
t
t t
u
t
u l t
u
x u
x l
a
9. 
=0
=0
(0, ) = 0,
( , )
( , ) = 0, |
= ( ),
|
=
( ), > 0
x
x
t
t t
u
t
u l t
hu l t
u
x u
x h



10. 
=0
=0
(0, ) = 0,
( , )
( , ) = 0, |
= 0,
|
= 1, > 0
x
x
t
t t
u
t
u l t
hu l t
u
u
h

11. 
=0
=0
(0, )
(0, ) = 0,
( , ) = 0, |
= ( ),
|
=
( ), > 0
x
x
t
t t
u
t
hu
t
u l t
u
x u
x h



12. 
=
|
),
(
=
|
0,
=
)
,
(
)
,
(
0,
=
)
(0,
)
(0,
0
=
0
=
t
t
t
x
x
u
x
u
t
l
hu
t
l
u
t
hu
t
u



=
( ), > 0
x h

13. 
2
=0
(0, ) = 0, ( , ) = 0, ( , 0) =
(
),
|
= 0, > 0
t
x
u
t
u l t
u x
l x l
x u
h

14. 
=0
5
(0, ) = 0, ( , ) = 0, ( , 0) = 1,
|
= sin
t t
x
u
t
u l t
u x
u
l

15. 
2
=0
=0
(0, ) = ( , ) = 0, |
=
7 ,
|
= 0, = 2, = 3
sin
t
t t
u
t
u l t
u
x u
a
l
16. 
=0
=0
2
(0, ) = ( , ) = 0, |
= 1,
|
= sin
t
t t
u
t
u l t
u
u
x
l

17. 
=0
=0
15
3
(0, ) =
( , ) = 0, |
= sin
,
|
= sin
2
2
x
t
t t
u
t
u l t
u
x u
x
l
l


18. 
=0
=0
1
(0, ) = ( , ) = 0, |
= sin
,
|
=
2
x
t
t t
u
t
u l t
u
x u
x
l

---

19. 
2
=0
=0
(0, ) =
( , ) = 0, |
=
,
|
=
x
x
t
t t
u
t
u l t
u
x u
x
20. 
=0
=0
(0, ) =
( , ) = 0, |
= sin 3 ,
|
= 2 cos 5 , = 1, = 1
x
x
t
t t
u
t
u l t
u
x u
x l
a
21. 
=0
=0
(0, ) = 0,
( , )
( , ) = 0, |
= ,
|
=
( ), > 0
x
x
t
t t
u
t
u l t
u l t
u
x u
x h


22. 
=0
=0
(0, ) = 0,
( , )
( , ) = 0, |
= 1,
|
= 1, > 0
x
x
t
t t
u
t
u l t
hu l t
u
u
h

23. 
3
=0
=0
(0, )
(0, ) = 0,
( , ) = 0, |
=
,
|
=
( ), > 0
x
x
t
t t
u
t
hu
t
u l t
u
x u
x h


24. 
=
|
),
(
=
|
0,
=
)
,
(
)
,
(
0,
=
)
(0,
)
(0,
0
=
0
=
t
t
t
x
x
u
x
u
t
l
hu
t
l
u
t
hu
t
u



= , > 0
x h
25. 
=
|
),
(
=
|
0,
=
)
,
(
)
,
(
0,
=
)
(0,
)
(0,
0
=
0
=
t
t
t
x
x
u
x
u
t
l
hu
t
l
u
t
hu
t
u



= ( ), > 0
x h

II.
)
(
=
2
x
f
u
a
u
xx
tt

tenglama 
uchun
0
>
,
<
<
0
t
l
x
yarim 
yo'lakda 
qo'yilgan, 
bir 
jinsli
0
=
|
0,
=
|
0
=
0
=
t
t
t
u
u
boshlang'ich 
va 
quyidagi 
chegaraviy 
shartlarni 
qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. (Ko'rsatma: yechimni 
)
,
(
)
,
(
=
)
,
(
t
x
w
t
x
t
x
u


ko'rinishda izlang):
1. 
(0, ) = 0, ( , ) = 0, ( ) =
u
t
u l t
f x
bshx
2. 
(0, ) =
, ( , ) =
u
t
u l t


3. 
(0, ) =
,
( , ) =
x
x
u
t
u l t


4. 
(0, )
(0, ) = , ( , ) =
x
u
t
hu
t
u l t



5. 
(0, ) = ,
( , )
( , ) =
x
x
u
t
u l t
hu l t



6. 
(0, )
(0, ) = ,
( , )
( , ) =
x
x
u
t
hu
t
u l t
hu l t





7. 
(0, ) = 0, ( , ) = 0, ( ) =
u
t
u l t
f x
achx
8. 
(0, ) =
, ( , ) = 1
u
t
u l t

9. 
(0, ) =
,
( , ) = 1
x
x
u
t
u l t

10. 
(0, )
(0, ) =
, ( , ) =
x
u
t
hu
t
u l t



III.
)
,
(
=
2
t
x
f
u
a
u
xx
tt

tenglama uchun
0
>
,
<
<
0
t
l
x
yarim yo'lakda qo'yilgan, bir 
jinsli
0
=
|
0,
=
|
0
=
0
=
t
t
t
u
u
boshlang'ich 
va 
quyidagi 
chegaraviy 
shartlarni 

---

qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. (Ko'rsatma: Yechim 
l
x
k
t
u
t
x
u
k
k

sin
)
(
=
)
,
(
1
=


ko'rinishda izlanib


,
f
funksiyalar 
l
x
k

sin
bo'yicha qatorga yoyiladi. ) 
1. 
(0, ) = ( , ) = 0,
( , ) = sin
x
u
t
u l t
f x t
l

2. 
(0, ) = ( , ) = 0,
( , ) =
sin
t
x
u
t
u l t
f x t
Ae
l


3. 
(0, ) = ( , ) = 0,
( , ) =
t
u
t
u l t
f x t
Axe

4. 
(0, ) =
( , ) = 0,
( , ) =
sin
t
x
u
t
u l t
f x t
Ae
x

5. 
(0, ) = ( , ) = 0,
( , ) =
sin
x
u
t
u l t
f x t
A
t
6. 
(0, ) =
( , ) = 0
x
x
u
t
u l t
7. 
(0, ) = ( , ) = 0,
( , ) =
t
u
t
u l t
f x t
e
xl

8. 
2
3
(0, ) = ( , ) = 0,
( , ) =
t
u
t
u l t
f x t
Ae
x

9. 
(0, ) = ( , ) = 0,
( , ) =
t
u
t
u l t
f x t
xe t

10. 
(0, ) =
( , ) = 0,
( , ) =
sin
x
x
u
t
u l t
f x t
e
t

11. 
(0, ) = ( , ) = 0,
( , ) =
sin
x
u
t
u l t
f x t
At
x
12. 
(0, ) =
( , ) = 0,
( , ) =
x
x
u
t
u l t
f x t
tx
IV.Quyidagi aralash masalani Fur'ye usuli bilan yeching: 
1. 
=
|
0,
=
)
,
(
=
)
(0,
0,
>
1,
<
<
0
,
4
=
0
=
t
xx
tt
u
t
l
u
t
u
t
x
u
u
u

2
=0
,
|
= 0
t t
x
x u

2. 
=
|
0,
=
)
,
(
=
)
(0,
0,
>
,
<
<
0
,
=
2
0
=
t
xx
t
tt
u
t
u
t
u
t
x
u
u
u
u




2
=0
,
|
= 0
t t
x
x u

 
3. 
=
|
0,
=
)
,
(
=
)
(0,
0,
>
,
<
<
0
,
=
2
0
=
t
x
xx
t
tt
u
t
u
t
u
t
x
u
u
u
u




=0
0,
|
=
t t
u
x
4. 
=
|
0,
=
)
(1,
,
=
)
(0,
0,
>
1,
<
<
0
,
=
0
=
t
xx
t
tt
u
t
u
t
t
u
t
x
u
u
u

=0
0,
|
= 1
t t
u
x

5. 
=
|
0,
=
)
(2,
,
2
=
)
(0,
0,
>
2,
<
<
0
,
=
0
=
t
xx
t
tt
u
t
u
t
t
u
t
x
u
u
u

=0
0,
|
= 0
t t
u
6. 
=
|
0,
=
)
,
(
,
=
)
(0,
0,
>
,
<
<
0
,
=
0
=
t
xx
t
tt
u
t
l
u
t
t
u
t
l
x
u
u
u

=0
0,
|
=
t t
x
u
l
7.
=
)
,
2
(
,
2
=
)
(0,
0,
>
,
2
<
<
0
,
cos
8
4
=
2
t
u
t
t
u
t
x
x
e
x
u
u
u
x
t
xx
t
tt





=0
=0
=
, |
= cos ,
|
= 2
t
t t
t u
x u
x


---

8.
=
)
(0,
0,
>
,
<
<
0
,
2
3
cos
)
(4
=
3
t
u
t
x
x
x
t
u
u
u
x
xx
t
tt






=0
=0
= 1
, ( , ) = (1
), |
= ,
|
=
t
t t
t u
t
t u
x u
x




9. 
=
)
(0,
0,
>
,
0,5
<
<
0
,
2
sin
cos
2
10
=
t
u
t
x
x
x
u
u
u
xx
tt




=0
=0
= 0,
(0,5 , ) = 0, |
= 0,
|
= 0
x
t
t t
u
t
u
u

10. 
=
|
0,
=
)
,
(
=
)
(0,
0,
>
1,
<
<
0
,
2
=
0
=
t
xx
tt
u
t
l
u
t
u
t
x
u
u
u

=0
,
|
= 0
t t
x u
11. 
=
|
0,
=
)
,
(
=
)
(0,
0,
>
,
<
<
0
,
2
=
0
=
t
xx
t
tt
u
t
u
t
u
t
x
u
u
u
u




2
=0
,
|
= 0
t t
x u

12. 
=
|
0,
=
)
,
(
=
)
(0,
0,
>
,
<
<
0
,
2
=
2
0
=
t
x
xx
t
tt
u
t
u
t
u
t
x
u
u
u
u




2
=0
0,
|
=
t t
u
x
13. 
=
|
0,
=
)
(2,
,
=
)
(0,
0,
>
2,
<
<
0
,
2
=
2
0
=
t
xx
t
tt
u
t
u
t
t
u
t
x
u
u
u

=0
0,
|
= 1
t t
u
14. 
=
|
0,
=
)
(3,
,
2
=
)
(0,
0,
>
3,
<
<
0
,
3
=
3
0
=
t
xx
t
tt
u
t
u
t
t
u
t
x
u
u
u

=0
0,
|
= 1
t t
u
15. 
=
|
0,
=
)
,
(
,
=
)
(0,
0,
>
,
<
<
0
,
2
=
0
=
t
xx
t
tt
u
t
l
u
t
t
u
t
l
x
u
u
u

3
=0
0,
|
=
2
t t
x
u
l
16.
=
)
,
2
(
,
2
=
)
(0,
0,
>
,
2
<
<
0
,
cos
4
=
t
u
t
t
u
t
x
x
u
u
u
x
xx
t
tt




=0
=0
, |
= cos ,
|
= 2
t
t t
t u
x u
x

17. 
xx
t
tt
u
u
u


=0
=0
= 1, ( , ) = (1
), |
= ,
|
= 2
t
t t
u
t
t u
x u
x



18. 
=
)
,
(0,5
0,
=
)
(0,
0,
>
,
0,5
<
<
0
,
2
sin
=
t
u
t
u
t
x
x
u
u
u
x
xx
tt




=0
=0
0, |
= 0,
|
= 0
t
t t
u
u
20. 
=
|
0,
=
)
,
(
=
)
(0,
0,
>
1,
<
<
0
,
3
2
=
0
=
t
xx
tt
u
t
l
u
t
u
t
x
u
u
u

2
=0
,
|
= 0
t
t
x u