1-mavzu: Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarning kanonik formalari va tavsifi. Xarakteristik tenglamasi. Koshi masalasining qo‘yilishi. Bir o’lchovli to’lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi. Dalamber formulasi

Namunaviy misollar yechish 
1-Misol. 
Hajmi n=20 ga teng bo’lgan tanlanma chastotalar taqsimoti 






3
6
7
4
:
8
7
5
1
:
i
i
n
x

---

ko’rinishida berilgan. Nisbiy chastotalar taqsimotini toping. 
Yechish. 
Nisbiy chastotalarni topish uchun chastotalarni tanlanma hajmiga 
bo’lamiz:
15
,
0
20
/
3
;
3
,
0
20
/
6
;
35
,
0
20
/
7
;
2
,
0
20
/
4
/
1
1
2
1
1













n
n
 
U holda tanlanmaning nisbiy chastotalar taqsimoti quyidagicha bo’ladi: 
 2-Misol
. 
Hajmi 30 bo’lgan tanlanmaning 
chastotalari taqsimoti berilgan. 
i
x
 
2 
8 
16 
i
n
 
10 15 5 
Nisbiy chastotalar taqsimotini tuzing. 
Yechish
: Nisbiy chastotalarni topamiz. Buning uchun chastotalarni tanlama 
hajmiga bo’lamiz.
 
 
 
 
,
3
1
30
10
1


W
 
 
,
2
1
30
15
2


W
.
6
1
30
5
3


W
 
u holda, nisbiy chastotalar taqsimoti
i
x
2 
8 
16 
i
w
 
3
1
 
2
1
 
6
1
 
3-Misol
. Quyidagi taqsimot qatori bilan berilgan tanlanmaning empirik taqsimot 
funksiyasini tuzing va grafigini chizing.
i
x
1 
4 
6 
i
x
1 
5 
7 
8 
i

0.2 
0.35 0.3 
0.15 

---

i
n
10 15 25 
Yechish. 
50
25
15
10
3
2
1







n
n
n
n
 
;
2
.
0
5
1
50
10



t
W
;
3
.
0
10
3
20
15
2



W
5
.
0
2
1
50
25
3



W
 
U holda, nisbiy chastotalar empirik taqsimoti
 
 
 
 
 
 
 
i
x
1 
4 
6 
i
w
0.2 0.3 0.5 
Empirik taqsimot funksiya quyidagi ko’rinishda bo’ladi
. 















lsa
bo
x
agar
lsa
bo
x
agar
lsa
bo
x
agar
lsa
bo
x
agar
x
F
i
n
'
,
6
,
,
1
'
,
6
4
,
,
5
.
0
'
,
4
1
,
,
2
.
0
'
,
1
,
,
0
)
(
 
 
 
 
 
4-Misol
. Berilgan tanlanma taqsimoti bo’yicha chastotalar va nisbiy chastotalar 
poligonlarini chizing. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i
x
 
1 
2 
4 
5 
8 
i
n
 
5 
10 
15 
7 
3 
1 4
6 
 
x
F
n
*
1 
0,
5 
0,
2 
x

---

Yechish. 
n=5+10+15+7+3=40 tanlanma hajmi. Chastotalar poligoni quyidagi 
ko’rinishda bo’ladi. 
 
Nisbiy chastotalarni topamiz. 
40
5

t
W
;
40
10
2

W
;
40
15
3

W
;
40
7
4

W
;
40
3
5

W
; 
i
x
1 
2 
4 
5 
8 
i
w
40
5
40
10
40
15
40
7
40
3
U holda, nisbiy chastotalarni poligoni quyidagi ko’rinishda bo’ladi. 
 
5-Misol. 
Berilgan tanlanma taqsimoti bo’yicha chastotalar va nisbiy chastotalar 
gistogrammalarini chizing. 
Interval 
nomeri 
Qism 
interval 
Intervaldagi 
variantalar 
chastotalari 
yig‘indisi 
Chastotalar 
zichligi 
Nisbiy 
chastotalar 
Nisbiy 
chastotalar 
zichligi 
1 2 3 4
5 6 7 8 
i
n
1
5 
1
0 
5 
i
x
1 2 3 4 5
6 7 8 
i
w
40
15
i
x

---

I 
1


i
i
x
x
i
n
i
n
/h 
i
w
i
w
/h 
1 
5–10 
2 
0.4 
15
1
150
2
2 
10–15 
6 
1.2 
5
1
150
6
3 
15–20 
12 
2.4 
5
2
150
12
4 
20–25 
10 
2 
3
1
150
10
Chastotalar gistogrammasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi.
 
Nisbiy chastotalar gistogrammasi esa quyidagi ko’rinishda bo’ladi. 
 
 
 
 
 
Statistik materialni tanlash usullari
Tanlanma tuzishda usaytaru (qaytariladigan) va usaytmasu (qaytarilmaydigan) 
usullar mavjud. Qaytariladigan usul bilan tanlanma tuzishda bosh majmuadan 
olingan har bir element bosh majmuaga qaytariladi, undan so’ng esa yangi element 
5 10 15
20 25 
h
n
i
2
,4 
1 
0
,4 
i
x
5 10 15
20 25 
h
w
i
150
12
150
6
i
x

---

tanlab olinadi. Qaytarilmaydigan usul, olingan elementlar bosh to’plamga 
qaytarilmaydi. 
Qaytariladigan usulni o’zaro bog’liq bo’lmagan tajribalar ketma-ketligi, 
qaytarilmaydigan usulni esa o’zaro bog’liq tajribalar ketma-ketligi deb qarash 
mumkin. 
Agar tanlanma hajmi, bosh majmuaga nisbatan ancha kichik bo’lsa, ikkala usul 
ham bir xil natijaga olib kelishi mumkin. 
Bundan tashqari tanlanma tuzishning 
1. Oddiy 
2. Mexanik 
3. Tipik 
4. Qismiy usullari mavjud. 
7.6.Statistik qatorlar. Gistogramma. 
O’lchashlar va kuzatuvlar natijasida olingan statistik materiallarni quyidagi 
jadvalga joylashtiramiz:
 
i 
1 
2 
3 
... 
i 
... 
n 
x
i
x
1
 
x
2
 
x
3
 
... 
x
i
 
... 
x
n 
Bunday jadval oddiy statistik qator deyiladi. Agar o’lchovlar soni juda katta 
bo’lsa, bunday o’lchovlarni yuqoridagi jadval ko’rinishida tasvirlash qiyin. 
Shuning uchun oddiy statistik qator o’rniga guruhlash bajariladi va u quyidagicha 
amalga oshiriladi. 
x
miqdorning butun qiymatlar sohasini teng bo’laklarga bo’lamiz 
(a
0
;a
1
), (a
1
;a
2
),... (a

-1
;a

)
ва 
(a
k-1
;a
k
)
intervalga
x
miqdorning tushgan qiymatlari 
k
m
larni hisoblaymiz, interval chegarasiga tushgan qiymat chap intervalga yoki 
o’ng intervalga mos deb hisoblanadi:
k
k
m
P
n


soni 
(a
k-1;
a
k
)
intervalga mos 
keluvchi nisbiy chastotadir. 



n
к
k
p
1
*
1
ekanligi o’z-o’zidan ma'lum. 

---

Quyidagi jadvalni tuzamiz: 
Interval
(a
0
;a
1
) 
(a
1
;a
2
) ... 
(a
k-1
;a
k
) ... 
(a

-1
; a

) 
m
k 
m
1
 
m
2
 
... 
m
k
 
... 
m

 
P
k
* 
P
1
*
 
P
2
*
 
... 
P
k
*
 
... 
P
*

 
Guruhlarni quyidagi geometrik shaklda ham tasvirlash mumkin. 
Ox
o’qida 
а
0
,а
1
,..., a
k
 ,...,a

larni 
[a
k-1
, а
к
]
kesmaga mos to’rburchak yuzini 
P
k
*
deb belgilab
а
0
а
1
а
2
а
3
 а
4
а
5
х
 
ni hosil qilamiz, unga gistogramma deyiladi. Guruhlash gistogramma asosida 
statistik taqsimot funksiyasini taqriban yasash mumkin. Olingan materiallarni 
keyingi qayta ishlash quyidagicha amalga oshiriladi. 
(a
k-1
, а
к
)
interval o’rtasini 
х
к
deb belgilab, uni 
mk
marta o’tkazilgan 
o’lchashlarning qiymati deb qabul qilinadi va oldingi jadval o’rniga quyidagi jadval 
olinadi. 
к
х
~
1
~
х
2
~
х
... 
к
х
~
... 

х
~
m
k 
m
1
 
m
2
 
... 
m
k
 
... 
m

 
P
k
* 
P
1
*
 
P
2
*
 
... 
P
k
*
 
... 
P
*

 
Bu jadval 
(a
k-1
, а
к
)
da yotuvchi 
x
k
bir-biriga yaqin deb faraz qilish asosida tuzilgan. 
1-Misol.
Uzoqlikni o’lchash natijasida quyidagi guruhlash yasalgan. 
Interval 80-110 
110-
140-
170-
200-
230-
260-
290-

---

140 
170 
200 
230 
260 
290 
320 
m
k
 
2 
5 
16 
24 
28 
18 
6 
1 
P
k
*
 
0.02 
0,05 
0,16 
0,24 
0,28 
0,18 
0,06 
0,01 
Yuqoridagi guruhlashga asosan statistik qator va quyidagi jadvalni yasaymiz. 
к
х
~
95 
125 
155 
185 
215 
245 
275 
305 
m
k
2 
5 
16 
24 
28 
18 
6 
1 
P
k
*
0.02 
0,05 
0,16 
0,24 
0,28 
0,18 
0,06 
0,01