1-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularga qo`yilgan koshi masalasini yechish usuli 1-ta’rif

I
(2)

kkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli dif tenglamalarni kanonik shaklga keltirish ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli tenglama quiydagi yoziladi:

Xarakteristik tenglamasi : _TA’RIF: 1) Agar berilgan nuqtada bo’lsa (2) tenglama bu nuqtada giperbolik tipli deyiladi. 2) Agar berilgan nuqtada bo’lsa (2) tenglama bu nuqtada parabolik tipli deyiladi. 3) Agar berilgan nuqtada bo’lsa (2) tenglama bu nuqtada elliptik tipli deyiladi.

(2) tenglamaning hamma giperbolik tipli bo’ladigan nuqtalari to’plami shu tenglamaning giperboliklik to’plami, parabolic tipli nuqtalari to’plami parabolic sohasi va elliptic tipli bo’ladigan nuqtalari to’plami uning elliptiklik sohasi deyiladi. Agar (2) tenglama qaralayotgan soha nuqtalarida bir nechta tipga ega bo’lsa, bu sohada tenglama aralash tipli deyiladi.
(2) tenglamaning kanonik shaklini topish uchun bu hollarni alohida-alohida qarab chiqamiz.

1. 
   D sohada (2) giperbolik tipli bo’lsin, ya’ni uning barcha nuqtalarida tengsizlik o’rinli. Bu holda (11) ning har ikkala tenglamasi haqiqiy qiymatli umumiy integrallarga ega bo’ladi. Yangi o’zgaruvchilarni kabi tanlaymiz. U holda Lemma va (6) ga asosan bo’lib, yangi o’zgaruvchilarda (2) tenglama quyidagi ko’rinishni oladi:
   

, (12)

bunda
.

Odatda (12) tengalamaga giperbolik tenglamalarning 1-tur kanonik shakli deyiladi. Agar unda almashtirishlarni bajarsak



bo’lib, (12) ga asosan giperboik tenglamalarning 2-tur kanonik shakli

hosil bo’ladi.

2. 
   D sohada (2) parabolik tipli bo’lsin, ya’ni uning barcha nuqtalarida tenglik o’rinli. Bu holda (11) ning har ikkala tenglamasi bitta haqiqiy qiymatli
   

umumiy integralga ega bo’ladi. Bu holda yangi o’zgaruvchilarni

kabi tanlaymiz. Bunda orqali bilan chizqli bogl’anmagan ixtiyoriy funksiya tanlangan. U holda Lemma va (6) ga asosan va bo’lib, bo’lganligi uchun (6) dan

ekanligini olamiz. Natijada (5) da bo’lish bilan giperbolik tipli tenglamalarning kanonik shakli ni hosil qilamiz:
.
Bunda
.

3. 
   D sohada (2) tenglama elliptik tipli bo’lsin, ya’ni uning barcha nuqtalarida tengsizlik o’rinli. Bu holda (11) ikkita qo’shma kompleks umumiy integrallarga ega bo’ladi
   

.
Bu holda yangi o’zgaruvchilarni

kabi tanlaymiz. Bu holda o’rinli bo’ladi. (5) tenglamaning ikkala tomonini ga bo’lib, elliptic tipli tenglamalarning

kanonik shaklini hosil qilamiz.



(2)
XUSUSIY XOSILA 4 Matimatik fizikaning asosiy tenglamalariga keladigan fizika mexanika ayrim masalalari Bizga ma’lumki Tebranish tenglamalari (1) issiqlik tarqalish tenglamasi

(3)

stasionar jarayonlar tenglamasi

ko‘rinishda bo‘ladi.
Bizlar giperbolik tipdagi tenglamani ko’rib chiqammiz. Faraz qilaylik bo’lsin, shunda Tenglama ideal torning tebranish tenglamasi deyiladi. Ikki fazoviy o’zgaruvchilarning funksiyasi holida: bu elastik membrananing tebranish tenglamasi. (2. 1) tenglamani qaraymiz.Biz quyidagi boshlang’ich shartlarni berishimiz mumkin − torninng muvozanat holatidan chetlanishini izohlaydi; va chegaraviy shartlarni: odatda bizlar ulardan ba’zilarini olamiz. Giperbolik yoki tebranish tenglamalar uchun chegaraviy masalalar tuzamiz. Birinchi chegaraviy masala. Xuddi shuni o’zi yarim to’g’ri chiziq uchun :

XUSUSIY HOSILA 5 Ikkinchi tartibli xususiy hosilali tenglamalarning xarakteristikalari. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali klassik tenglama quyidagi ko’rinishga ega: Unga bir qiymatli moslik bilan quyidagi oddiy differensial tenglamani qo’yamiz: Shunda (2.5)ningyechimlaribo’lganfunksiyalar (egrichiziqlar) (2.4) tenglamaning xarakteristikalar ideyiladi. Masalan tebranish tenglamasi uchun xarakteristikalar hosil qilinadigan tenglama ko’rinishgaega. Undanquyidaginihosilqilamiz: Bulargiperboliktipdagitenglamalarningxarakteristikalaridaniboratikkito’g’richiziqdir Farazqilaylik u (x, t) funksiya ma’lum bir Koshi masalasining yechimi bo’lsin. Oxy tekisligining birinchi choragida ixtiyoriy nuqta olamiz. Bu nuqtadan faqat ikkita xarakteristika o’tadi: Ular Ox o’qini nuqtalar orqali kesib o’tib, bunda xarakteristik uchburchakni hosil qiladi. u (x, t) funksiyauchun nuqtada (2.3) Dalamber formulasini yozib Hosil qilamizki, u (x, t) funksiyaning qiymati faqat xarakteristik uchburchakning asosidagi qiymatlari bilan aniqlanadi. Faraz qilaylik funksiyalar biror [a, b] kesmaning tashqarisida 0 ga teng bo’lsin. Shunda II, III sohalarda u (x, t)funksiya ham 0 ga aynan teng bo’ladi. Bu Dalamber formulasidan osongina ko’rish mumkin. Ushbu fakt (dalil) giperbolik tenglamadagi u (x, t) signal (xabar)ni tarqalishining(x o’qibo’yicha)( t vaqt mobaynidagi) oxiridagitezliginiko’rsatadi. Aksincha issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun berilgan Koshi masalasida yechim, keyinchlik ko’rsatadiganidek, quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

K
o’rinib tipibdiki, agar funksiya uzluksiz, manfiy bo’lmagan va biror nuqtada 0 dan farqli bo’lsa, unda bo’ladi.
XUSUSIY XOSILA 10