1-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularga qo`yilgan koshi masalasini yechish usuli 1-ta’rif

Yarim to`g`ri chiziqdagi bir jinsli chegaraviy shart bilan berilgan ikkinchi chegaraviy masala. O`zgaruvchilarni ajratish usuli IKKINCHI CHEGARAVIY MASALA. Yarim to’g’ri chiziqdagi bir jinsli chegaraviy shart bilan berilgan ikkinchi chegaraviy masala quyidagi ko’rinishga ega:
Oldingi holdagiday harakat qilamiz. Lekin bizlarni faqat juft davom ettirish qanoatlantiradi:

Yangi Koshi masalasi va uning uchun Dalamber formulasi bo’yicha yechimi 2-chi ma’ruzada ko’rsatganimizdek bo’ladi:

Oldingi holdagidek, bo’lsin.
U holda (1), (3), (4) shartlarning bajarilishi ayon.
(2) shartni tekshiramiz. Dalamber formulasini differensiallasak va juft funksiyaning hosilasi toq funksiya bo’lishini inobatga olib, quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

toqligidan va juftligidan ko’rinadiki ikkala had ham nolga teng.

2. O’zgaruvchilarni ajratish usuli.

uchun umumiy formula shunga o’xshash olinadi.

kesmada ortonormallashgan funksiyalar sistemalarini qaraymiz.

Fur’ye koeffisiyentlarini

kabi aniqlaymiz.
U holda matematik analiz kursidan ma’lumki, agar bo’lsa, u holda
,
qatorlar yaqinlashadi. Buni eslab qolamiz va bir jinsli chegaraviy shartlar bilan berilgan bir jinsli tebranish tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalaga o’tamiz:

Uning yechimini quyidagi usul bilan topamiz: biror funksiyaga keltiruvchi almashtirishlarni bajaramiz, so’ngra, ma’lum bir shartlarni qanoatlantiruvchi va funksiyalar uchun bu funksiya mavjud bo’lishini va berilgan masala yechimi ekanligini isbotlaymiz.
Yechimni ko’rinishda izlaymiz. Bu nolga aynan teng bo’lmagan funksiya bo’lsin. ni tebranish tenglamasiga qo’yib, quyidagini hosil qilamiz:

bu yerda qandaydir o’zgarmas son.
Bu ayniyatlardan ikkita tenglama kelib chiqadi:

da funsiya (2) shartni qanoatlantiradi.
XUSUSIY HOSILA 14