14-Mashg’ulot Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari: matematik kutilish, dispersiya va

Yechish:

 Matematik kutilmaning ta’rifiga ko’ra 

      

 

   

  

 

       

 

   

  

 

 

 

 

 

   

   

 

   

 

  

           

 

 

 

   

 

 

   

 

   

  

        

                 

 

   

 

   

      

   

   

 

   

 

 

 

 

     

      

   

   

 

   

         

 

Demak 

       

. U holda 

  

 

   

 

   

 

 

 

 

       

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

   

   

 

   

 

 

  

           

 

 

 

   

 

 

   

 

   

 

 

  

           

 

 

 

   

   

 

   

 

  

           

 

 

 

   

   

 

   

 

  

           

 

 

 

   

 

 

   

 

   

  

 

    

  

           

 

 

 

   

        

 

   

        

  

           

 

 

 

   

      

 

   

 

   

  

                 

 

 

 

   

        

 

   

         

 

        

                 

 

   

 

   

 

 

               

 

 

   

   

 

   

 

 

 

 

     

                

 

 

   

   

 

   

          

 

           

 

    

 va (8) formulaga ko’ra  

       

 

      

 

           

 

        

 

 

 

         

 

                  

 

O’rtacha kvadratik chetlanishi esa 

 

 

  √     √   

 bo’ladi. 

4-Misol

.  Puasson  taqsimoti  bo’yicha  taqsimlangan

 

 tasodifiy  miqdorning 

matematik kutilmasi, dispersiyasi va o’rtacha kvadratik chetlanishini toping.  

Yechish:

 Matematik kutilma uchun 

      

 

   

 

 

 

  

 

  

    

  

 

 

   

 

   

        

    

  

 

 

   

 

 

  

    

  

 

 

    

 

tenglikni hosil qilamiz.  Bundan tashqari 

  

 

   

 

   

 

 

 

 

  

 

  

   

 

   

 

 

 

        

 

  

    

  

 

 

   

 

 

   

        

 

 

---

228 

 

    

  

0  

 

   

       

 

   

        

   

 

   

 

   

        

1     

  

(  

 

   

 

)    

 

   

 

va (8) formulaga ko’ra 

       

 

      

 

   

 

       

 

   

 

O’rtacha kvadratik chetlanishi esa 

 

 

  √     √ 

 bo’ladi. 

5-Misol

.  Geometrik  taqsimlangan

 

 tasodifiy  miqdorning  dispersiyasini  va  o’rtacha 

kvadratik chetlanishini toping. 

Yechish:

  Geometrik  taqsimlangan 

 

 tasodifiy  miqdorning  matematik  kutilmasini 

  

   

  ( 

 

)

 

 

 hosiladan foydalanib topamiz: 

      

 

   

   

 

      

 

   

  

   

      

 

   

( 

 

)

 

 

     (  

 

   

 

 

*

 

 

     (

 

     

*

 

 

 

 

  

       

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

Dispersiyani  esa 

  

   

  ( 

 

)

 

 

, 

         

   

  ( 

 

)

 

  

 hosilalardan  foydalanib 

topamiz. Dastlab 

  

 

 matematik kutilmani hisoblaymiz: 

  

 

   

 

   

 

 

  

 

    

 

 

 

   

 

 

 

   

    

 

 

 

   

[         

   

    

   

]  

 

  

 

(  

 

   

         

   

   

 

   

  

   

*     

 

(  

 

   

         

   

 

 

 

 

 

   

  

   

*  

 

    

 

0(  

 

   

 

 

*

 

  

 

 

 

(  

 

   

 

 

*

 

 

1     

 

0(

 

     

*

  

 

 

 

(

 

     

*

 

1  

 

    

 

(

 

       

 

 

 

 

 

 

       

 

*  

        

 

 

 

va (8) formulaga ko’ra 

       

 

      

 

 

        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O’rtacha kvadratik chetlanishi esa 

 

 

  √     √   

 bo’ladi. 

Misollar. 

 

1.

  Taqsimot  qatori  ushbu  jadvalda  berilgan  tasodifiy  miqdorning  taqsimot 

funksiyasini tuzing,  taqsimot poligoni va taqsimot funksiyasining grafigini yasang: 

 

 

-8 

-3 

1 

5 

8 

10 

 

  0,102  0,105  0,121  0,195  0,251  0,226 

 

2.

  Taqsimot  qatori  ushbu  jadvalda  berilgan  tasodifiy  miqdorning  taqsimot 

funksiyasini tuzing,  taqsimot poligoni va taqsimot funksiyasining grafigini yasang: 

 

 

-5 

-1 

2 

5 

6 

8 

 

  0,102  0,109  0,165  0,178  0,254  0,192 

3.

  Tayyor  detallarning  10%  nostandart  detallar  tashkil  qiladi.  Ixtiyoriy  ravishda  4 

detal  tanlab  olindi. 

   

tanlab  olingan  detallar  orasidagi  nostandart  detallar  soni. 

 

 

---

229 

 

tasodifiy miqdorning binomial taqsimot qatorini, taqsimot funksiyasini tuzing va taqsimot 

poligoni hamda taqsimot funksiyasining grafigini yasang. 

4.

  Otilgan  o’qning  nishonga  tegish  ehtimoli 

   

 ga  teng.  Nishonga  bir-biriga 

bog’liqsiz  ravishda  uch  marta  o’q  uzildi. 

   

nishonga  tekkan  o’qlar  soni. 

 

 tasodifiy 

miqdorning binomial taqsimot qatorini, taqsimot funksiyasini tuzing va taqsimot poligoni 

hamda taqsimot funksiyasining grafigini yasang. 

5.

 Qutida 7 ta qalam bo’lib, ularning 4 tasi qizil rangda. Ixtiyoriy ravishda 3 ta qalam 

tanlab  olindi. 

   

tanlab  olingan  qalamlar  orasidagi  qizil  ranglilari  soni. 

 

 tasodifiy 

miqdorning  taqsimot  qatorini,  taqsimot  funksiyasini  tuzing  va  taqsimot  poligoni  hamda 

taqsimot funksiyasining grafigini yasang. 

Uzluksiz tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari. 

1-Ta’rif

. 

 

 

uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi

 deb 

      

  

  

       

                                             (1) 

integralga ayiladi, bu yerda 

 

  

  

| |            

 

ya’ni  matematik  kutilmani  aniqlovchi  xosmas  integral  mutlaq  yaqinlashadi  deb  faraz 

qilinadi. 

2-Ta’rif

. 

 

 tasodifiy  miqdorning 

  

 dispersiyasi  deb,  bu  tasodifiy  miqdorning 

  

 

matematik kutilmasidan chetlanishi kvadratining matematik kutilmasiga aytiladi: 

              

 

 

                                          (2) 

 

Uzluksiz tasodifiy miqdorning dispersiyasi  

      

  

  

        

 

      

                                     (3) 

formula formula bilan hisoblanadi. 

 

Amalda dispersiya uchun 

       

 

      

 

                                              (4) 

      

  

  

 

 

             

 

                                   (5) 

formulalardan foydalanish qulay.  

3-Ta’rif

. 

 

 tasodifiy  miqdorning 

o’rtacha  kvadratik  chetlanishi

  yoki 

standart 

chetlanishi

 deb, uning dispersiyasidan olingan kavadratik ildizga aytiladi va 

 

 

 (yoki 

 [ ]

, 

 

) orqali belgilanadi.   

 

Shunday qilib ta’rifga ko’ra 

 

 

 

  √  

.                                                  (6) 

 

1-Misol.

 

 

 uzluksiz tasodifiy miqdor ehtimollarining zichlik funksiyasi 

       {

                      

         

            

                           

 

---

230 

 

tenglik bilan berilgan bo’lsa, bu tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi, dispersiyasi va 

o’rtacha kvadratik chetlanishini toping. 

 

Yechish:

 Matematik kutilma ta’rifiga ko’ra 

      

  

  

           

  

  

           

  

  

                    

  

  

         

 

   

  

  

(

 

 

 

 

    *      (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*|

  

  

 

 

 

  

 

 

 

 

  

 

 

 

 

  

 

 

 

 

  

 

    

 

 

 

 

Dispersiyani (5) formulaga ko’ra topamiz: 

      

  

  

 

 

             

 

   

  

  

 

 

(

 

 

     *          

 

 

 

   

  

  

(

 

 

 

 

    

 

*      (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*|

  

  

 

 

 

  

 

 

 

 

  

 

 

 

 

  

 

 

 

 

  

 

 

 

  (  

 

 

*

 

         

    

 

 

    

 

 

 

 

 

 

Dispersiyadan kvadrat ildiz chiqarib 

 

 

  √    

√ 

 

 

O’rtacha kvadratik chetlanishni hosil qilamiz. 

 

2-Misol.

 

 

 uzluksiz tasodifiy miqdor ehtimollarining zichlik funksiyasi 

      

 

 

 

 | |

 

tenglik bilan berilgan bo’lsa, bu tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping. 

 

Yechish:

 Matematik kutilmaning ta’rifiga ko’ra 

      

  

  

         

 

 

 

  

  

  

 | |

    

 

 

 

 

  

  

 

    

 

 

 

  

 

  

  

    

 

  |

      

       

      

 

         

 

| |

      

       

      

  

          

 

|  

 

 

 

 

  

 

|

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

    

 

 

  

  

|

 

  

 

 

 

 

  

 

 

  

    

 

     

 

 

 

 

|

  

 

 

 

 

 

  

|

 

  

    

 

4-Ta’rif

. 

    

taqsimot  zichlik  funksiyasining  maksimum  nuqtasini 

uzluksiz 

tasodifiy miqdorning modasi

 deb ataymiz va 

 

 

 

 orqali belgilanadi. 

5-Ta’rif

. 

 

 tasodifiy miqdorning 

 {     

 

}    {     

 

}      

 

tenglikni qanoatlantiruvchi 

 

 

 qiymatiga uning 

medianasi

 deyiladi. 

 

3-Misol.

 

 

 uzluksiz tasodifiy miqdor ehtimollarining zichlik funksiyasi 

---

231 

 

       {

                               

 

 

 

 

 

 

 

 

                   

                                   

 

tenglik  bilan  berilgan  bo’lsa,  bu  tasodifiy  miqdorning  matematik  kutilmasi,  modasi  va 

medianasini toping. 

 

Yechish:

  Matematik  kutilmani  topish  uchun 

      

 oraliq  bo’yicha  integrallash 

yetarli. 

      

  

  

           

 

 

  ( 

 

 

 

 

 

 

 

     *       

 

 

( 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    *     

 

  ( 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

    

 

*|

 

 

  ( 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

       

 

*   ( 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

       

 

*  

 

    

 

Tasodifiy  miqdor  modasini 

    

 funksiyaning  maksimum  nuqtasi  sifatida  topamiz, 

buning uchun undan hosila olib nolga tenglashtiramiz: 

 

 

       

 

 

   

 

 

            

 

Demak 

 

 

      

 Medianani esa  

 {     

 

}      

 tenglikdan topamiz: 

 {     

 

}    

 

 

  

          

 

 

 

( 

 

 

 

 

 

 

 

     *      ( 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    *|

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

   

 

Demak  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

     

 

 

 

tenglamani yechamiz. 

 

 

 

    

 

 

     

 

        

 

Bu  tenglamaning  ildizlari 

 

 

       √    

, 

 

 

       √    

 va 

 

 

   

 bo’ladi.  Biroq 

mediana 

      

 oraliqda yotganligi uchun tasodofiy miqdorning medianasi 

 

 

   

 bo’ladi. 

 

4-Misol.

  Ehtimollarning  zichlik  funksiyasi 

         

    

 

        

 ko’rinishda 

bo’lgan 

 

 tasodifiy miqdorning modasini toping. 

 

Yechish:

 

    

 funksiyaning  maksimum  nuqtasini  bir  o’zgaruvchili  funksiyaning 

differensial  hisobi  usullaridan  foydalanib  topamiz.  Birinchi  tartibli  hosilani  nolga 

tenglashtiramiz: 

 

 

         

    

 

                    

 

Ikkinchi tartibli hosilaning 

     

 nuqtadagi qiymatining ishorasini aniqlaymiz: 

 

  

         

    

 

       

 

     

    

 

   

  

               

 

Demak 

    

 funksiya 

     

 nuqtada maksimumga erishar ekan. Shuning uchun 

 

 

     

 

bo’lar ekan. 

---

232 

 

 

5-Misol.

 

 

 uzluksiz tasodifiy miqdor ehtimollarining zichlik funksiyasi 

       {

                               

     

 

                

                                 

 

tenglik bilan berilgan bo’lsa, bu tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi va medianasini 

toping. 

 

Yechish:

 Matematik kutilmani topish uchun 

      

 oraliqda integrallash yetarli: 

      

  

  

           

 

 

  .   

 

 

 

/       

 

 

. 

 

 

 

 

 

/     

 

  .

 

 

 

 

 

 

 

  

/|

 

 

 

 

 

 

  

  

 

 

 

 

 

 

 

  

  

 

 

 

 

 

 medianani 

 {     

 

}      

 tenglikdan topamiz. Shuning uchun 

 {     

 

}    

 

 

  

          

 

 

 

.   

 

 

 

/      .

 

 

 

 

 

 

  

/|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

    

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

   

 

 

    

 

 

           

 

   √    √  

 

Bunday  aniqlanadigan  to’rtta  ildizdan  faqat 

 

 

  √    √ 

 ildizgina 

      

 oraliqqa 

tushadi va demak u 

 

 tasodifiy miqdorning medianasi bo’ladi. 

Misollar. 

 

1.

 Ehtimollarining zichlik funksiyasi  

      

{

 

 

 

 

                              

 

 

(   

 

 

 *                

 

 

(   

 

 

 *                   

                        

 

tenglik  bilan  aniqlanadigan 

 

 uzluksiz  tasodifiy  miqdorning  matematik  kutilmasi  va 

dispersiyasini toping. 

 

2.

 Ehtimollarining zichlik funksiyasi  

       {

            

 

 √     

 

                

          

 

tenglik  bilan  aniqlanadigan 

 

 uzluksiz  tasodifiy  miqdorning  matematik  kutilmasi, 

dispersiyasi, modasi va medianasini toping. 

 

3.

 

 

 uzluksiz tasodifiy miqdor ehtimollarining zichlik funksiyasi  

---

233 

 

       {

                                        

                               

                                  

 

tenglik  bilan  aniqlanadi. 

 

 parametrning  qiymatini, 

 

 tasodifiy  miqdorning  matematik 

kutilmasi, dispersiyasi, modasi va medianasini toping.