"Геометрические построения циркулем и линейкой" 46

Задача 5. Построить треугольник по двум данным углам и и биссектрисе длины d, проведенной из вершины третьего угла.
Анализируя задачу с учащимися, учитель предлагает задания - вопросы, ответы на которые кратко фиксируются на доске. Вопросы могут быть такими:
Какие данные определяют форму искомого треугольника?
Какие данные определяют размеры искомого треугольника?
Сколько треугольников можно построить построение двум углам? Какими будут построение форме все построенные треугольники?
Какой отрезок нужно провести в треугольнике, подобном искомому?
Как построить искомый треугольник?
Ответы на вопросы сопровождаются выполнением на доске чертежа от руки (рис.48).
Рис.48
Далее составляется план построения и выполняется само построение. Запись построения у учащихся в тетрадях может быть такой:
а)  А В С : А = , В = ;
б) построить биссектрису угла С в треугольнике А В С ,
в) построить С N=d, N C D ;
г) через точку N провести прямую ,  А В ;
д) А C =А, В С =В;
е) АВС - искомый: А= , В= (так как АВС А В С по 1 признаку) и С N=d по построению. Дидактическая цель этапа, формирующего умение решать задачи рассматриваемого вида, ясна уже из его названия. Основная форма деятельности на этом этапе - индивидуально-поисковая. Она завершается обобщающей беседой.
Приведем несколько примеров задач, которые можно предложить на данном этапе.
Задача 6. Дан АОВ и точка М, расположенная во внутренней области этого угла. Построить окружность , проходящую через точку А касающуюся сторон угла АОВ.
Решение.
1. Анализ. Пусть АОВ - данный и точка М, расположена во внутренней области угла (рис.49).
Рис.49
Проведем еще одну окружность , касающуюся сторон АОВ. Обозначим, М - точку пересечения окружности  с прямой ОМ и рассмотрим ОМN и ОМ N (N и N центры окружности  и  ).
Эти треугольники подобны по двум углам, поэтому построение искомой окружность можно провести следующим образом:
2. Построение. Так как центр искомой окружности лежит на биссектрисе АОВ, то проводим биссектрису угла. Далее, возьмем здесь же точку N и построим окружность  с центром N , касающуюся АОВ. Затем проводим прямую СМ и обозначим через М - точку пересечения прямой с окружностью (таких точек две - М и М - берем одну из них). Проводим прямую М N и ей прямую через точку М. Тогда N - пересечение прямой с биссектрисой угла и есть центр искомой окружности, а ее радиус равен МN. Проведем ее.
3. Доказательство. По построению окружность  подобна  , О - центр подобия. Это следует из подобия треугольников ОМN и ОМ N , поэтому раз окружность  касается сторон угла, то и окружность  будет касаться сторон угла.
4. Исследование. Задача имеет два решения, т.к. ОМ пересекается с окружностью  в двух точках М и М , каждой из которых будет соответствовать своя окружность, проходящая через точку М и касающаяся сторон АОВ.