"Геометрические построения циркулем и линейкой" 46

Задача 11. Построить треугольник по 2 углам и периметру.
Решение.
1. Анализ. Пусть и  - данные углы и Р - периметр искомого треугольника (рис.33). Допустим, что искомый треугольник построен, тогда, если мы рассмотрим какой-либо АВ С , подобный искомому, отношение периметра Р АВС к периметру Р АВ С равно отношению сторон АС и АС .
Рис.55
2. Построение. Построим АВС подобный искомому. На луче АВ, отложим отрезки АD=Р и АD =Р , затем соединим точку D и С , и через точку D проведем прямую  D C . Пусть С - точка пересечения прямой с лучом АС . Через точку С проведем прямую  С В и обозначим В точку пересечения этой прямой с AD, тогда АВС - искомый.
3. Доказательство. Очевидно, что AС D подобен АСD, поэтому . По соотношению сторон равно отношению периметров подобных АВС и АВ С , поэтому периметр АВС=Р, следовательно, АВС - искомый.
4. Исследование. Так как сумма любых двух углов треугольника <180, то условие +<180 является необходимым условием для данного построения оно и достаточно. Затем указанным выше способом строится искомый АВС. Такой треугольник единственный, ибо любой другой с такими же данными будет иметь периметр Р и следовательно, будет подобен построенному с коэффициентом подобия равным 1, а два подобных треугольника с одним коэффициентом равны.
Задача 12. Дана окружность с центром О и точка А вне её. Проведите через точку А прямую, пересекающую окружность в точках В и С таких, что АВ = ВС.
Решение Анализ.
Допустим, что задача решена, т.е. через точку А проведена прямая так, что АВ = ВС. Точка В есть середина отрезка АС и лежит вне окружности. В точке В восстановить перпендикуляр к АВ, то он пересечет окружность в точке D (рис.61). Соединим точку D с точкой С. Отрезок DC пройдет
через точку О, так как Д DCB прямоугольный, а прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Тогда из равенства треугольников CDB и DBA следует, что AD = DC, т.е. отрезок AD равен диаметру. Теперь ясно, как надо строить искомую прямую.
Построение.
Из данной точки а радиусом, равным диаметру данной окружности, опишем окружность, которая пересечёт её в двух точках D и D₁. Через точки D и О проведём прямую, которая пересечет окружность в точке С. Прямая АС пересечёт данную окружность в точке С₁. Прямая С₁ А тоже искомая.

рис. 57

П рямая АС - искомая, так как AD=DC по построению; ZCBD -прямой как опирающийся на диаметр; ABD - прямой как смежный прямому углу, тогда BD  С А; в прямоугольных треугольниках ABD и DBC общий катет BD и равные гипотенузы. Следовательно, они равны и отсюда ВС=ВА. Аналогично доказывается, что прямая С₁А тоже искомая.

рис. 58
Исследование: Если расположение точки а относительно данной окружности такое, как на (рис 37а), то задача имеет два решение и АС₁ и АС - искомые прямые. Но может случится так, что точка А находится от окружности на расстоянии, равном диаметру, тогда окружность с центром в точке а и радиусом, равным диаметру, коснется данной окружности в точке В (рис.37 б). Тогда искомая прямая будет АО, так как АВ=ВС.
И, наконец, если точка А находится от данной окружности на расстоянии большем чем диаметр, то задача на имеет решения.