"Геометрические построения циркулем и линейкой" 46

Задача 13.Постройте треугольник по периметру, одному из углов и высоте, проведенной из вершины другого угла.
Р ешение
Анализ.


Рис.59
Допустим, что искомый треугольник ABC построен
У этого треугольника периметр и высота - данные отрезки и CAB тоже данный.
Продолжим сторону АВ и отложим AC=AD и BC=BN, тогда DN есть периметр. Треугольник ANC мы строить умеем. Так как CB-BN, то построив серединный перпендикуляр к CN, мы найдем точку В.
Построение.
Строя сначала угол А, равный данному (рис. 38 а). Затем из любой точки L стороны угла восстановим перпендикуляр и отложим отрезок LK=h. Через точку К проведём прямую параллельно AL, которая другую сторону угла в точке С. На прямой LA от точки А отложим отрезок DA=CA

Рис.60(а)
С К


так, чтобы точка а оказалась между точками L и D. На прямой AD от точки D в сторону точки А отложим отрезок DN равный периметру. Соединив N с С, получим треугольник CAN. К стороне CN проведем серединный перпендикуляр, который пересечет AN в точке В. ААВС - искомый.
Доказательство.
Построенный ∆АВС есть искомый потому, что CAB равен данному углу по построению, высота равна LK и равна данному отрезку тоже по построению. СА=AD и СВ=CN тогда периметр ∆АВС равен DN, a DN равен периметру по построению.
Исследование.
Задача имеет решение, если h< и 0< < π.
Задача 14. Постройте треугольник: а) по стороне, противолежащему углу и высоте, проведённой к данной стороне.
Решение.
Анализ.


Рис.61


Рис.62
Допустим, что ∆ABD построен. В этом треугольнике угол В данный, сторона АС и высота h=ВD тоже данные отрезки. Если отбросить условие, что высота BD равняться данному отрезку, то получим задач: построить точки, из которых данный отрез АС виден под данным углом  . Но сегмен вмещающий данный угол, мы умеем строи Затем из множества таких точек выберем те, которые отстоят от стороны АС на расстоянии h.
Построение.

На произвольной прямой откладываем отрезок АС, равный данному. Строим при стороне АС с вершиной в точке А угол, равный  , то есть проводим луч AD так, чтобы  CAD= из точки А к AD восстановим перпендикуляр, который пересекает серединный перпендикуляр к отрезку АС в точке О. Радиусом, равным OA, опишем окружность из центра О. К прямой АС в любой ее точке, например точке К, восстановим перпендикуляр и на ней от точки К в сторону точки О отложим отрезок КМ, равный данному отрезку h. Затем через точку М проводим прямую параллельно АС. Точка пересечения этой прямой с окружностью и будет третьей вершиной искомого треугольника. (Можно строить и иначе).

Доказательство.
Построенный ∆АВС есть искомый, так как сторона АС, высота h и угол В данные по построению.
Исследование.
Задача может иметь одно решение, два или не иметь решение в зависимости от того, касается прямая к окружности, пересекает её в двух точках или не имеет общих точек.