Milliy universiteti jizzax filiali "amaliy matematika" fakulteti "iqtisodiyot" kafedrasi

O‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar
Ushbu
M(x)dx + N( y)dy = 0
ko‘rinishdagi tenglamaga o‘zgaruvchilari ajralgan differensial tenglama
deyiladi.
tenglamaning umumiy yechimi uni hadma-had integrallash orqali
topiladi
M(x)dx N( y)dy C.
3-misol. Koshi masalasini yeching:
0
1
2
2 2  
 y
dy
x
xdx , y(0) 1.
O‘zgaruvchilari ajralgan differensial tenglama berilgan.
Uni hadma-had integrallaymiz:
0
1 y
dy
x
xdx .
Bundan tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
C
y
ln | x2 1|  1  yoki ln | 1|
1
2
Koshi masalasini yechish uchun tenglamaning umumiy yechimidan
y(0) 1 shartni qanoatlantiruvchi C ni aniqlaymiz:C
ln | 1|
1 1 , C  1.
Demak, Koshi masalasining yechimi
ln | 1|
x
y
Ushbu
tenglamalarga o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar deyiladi.
tenglama ( ) ( ) 1 2 N y M x ifodaga hadma-had bo‘lish orqali
o‘zgaruvchilari ajralgan tenglamaga keltiriladi

N y
dx N y
M x
M x .
(1.4) tenglamani ( ) ( ) 1 2 N y M x ifodaga hadma-had bo‘lishda ayrim
yechimlar tushib qolishi mumkin. Shu sababli bunda ( ) ( ) 0 1 2 N y M x 
tenglamani alohida yechish va bu yechimlar orasidan maxsus yechimlarni
ajratish kerak bo‘ladi.
4-misol. Koshi masalasini yeching:
(1 x2 )dy  (1 y2 )dx  0, y(0) 1.
Tenglamani (1 x2 )(1 y2 )  0 ga bo‘lib, o‘zgaruvchilarni ajratamiz:
0
1 2 1 2 
dy
x
dx .
Bu tenglamani integrallaymiz:
arctgx  arctgy  C .
Bundan
tg(arctgx  arctgy)  tgC, ,
1 C o‘zgarmasning qiymatini boshlang‘ich shartdan topamiz: 1 1 C  .
Demak, berilgan Koshi masalasining yechimi
y  dy o‘rniga qo‘yish orqali o‘zgaruvchilari ajralgan
f x dx
f y
dy ( )
( ) 1
2

tenglamaga keltiriladi.
y  f (ax  by  c) ko‘rinishdagi integrallar (bu yerda a,b,c sonlar)
ax  by  c  u almashtirish yordamida o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga
keltiriladi.
5-misol. y  2y  3x  5 tenglamaning umumiy yechimini toping.
Tenglamani y  3x  2y  5 ko‘rinishda yozib olamiz. u  3x  2y  5, u  3  2y o‘rniga qo‘yishlar bajarib, y  3x  2y  5
tenglamani o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltiramiz:
3  u  2u yoki 3 2u.
dx
du  
Bundan
dx
u
du  
2  3
.
Bu tenglamani integrallaymiz:
ln | 2u 3| x lnC
2
1     yoki 2u  3  Ce2x .
Teskari o‘rniga qo‘yish bajarib, berilgan tenglamaning umumiy
yechimini topamiz:
6x  4y  7  Ce2x .
Agar f (x, y) funksiyada x va y o‘zgaruvchilar mos ravishda tx va ty ga
almashtirilganda (bu yerda t  ixtiyoriy parametr) f (tx,ty)  f (x, y) shart
bajarilsa, f (x, y) funksiyaga bir jinsli funksiya deyiladi.
Agar y  f (x, y) differensial tenglamada f (x, y) bir jinsli funksiya
bo‘lsa, bu tenglamaga bir jinsli differensial tenglama deyiladi.
Bir jinsli differensial tenglama almashtirishlar orqali
y  y
ko‘rinishda yozib olinadi va keyin u
x
y  ( u  u(x) noma’lum funksiya)
o‘rniga qo‘yish orqali o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltiriladi.
6 misol.
y  y ln tenglamaning umumiy yechimini toping.
Tenglama bir jinsli. Shu sababli y  ux, y  ux  x o‘rniga qo‘yishni
bajaramiz. U holda berilgan tenglama
ux  u  u lnu yoki ux  u(ln u 1)
ko‘rinishga keladi. Tekislikdagi egri chiziqning ixtiyoriy M nuqtasiga o‘tkazilgan
urinmaning ordinatalar o‘qida ajratgan kesmasi urinish nuqtasining
abssissasiga teng. Agar c va 1 c (yoki ulardan biri) noldan farqli bo‘lsa, u holda (1.6)
tenglama:
1) 1 1 0 ab  a b  bo‘lganda   1 x x ,    1 y y almashtirishlar orqali bir
jinsli tenglamaga keltiriladi;
2) 0 1 1 ab  a b  bo‘lganda z  ax  by o‘rniga qo‘yish orqali o‘zgaruvchilari
ajraladigan tenglamaga keltiriladi.
(1.6) tenglamani integrallashda qo‘llaniladigan usul Noma’lum funksiya va uning hosilasiga nisbatan chiziqli bo‘lgan
tenglamaga chiziqli bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglama deyiladi,
bu yerda P(x), Q(x)  0  x ning uzluksiz funksiyalari (yoki o‘zgarmaslar).
Ushbu
y  P(x) y  0 (1.8)
(1.7) tenglamaga mos chiziqli bir jinsli tenglama deyiladi. Chiziqli bir jinsli
tenglama o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglama bo‘ladi.
Chiziqli bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamaning yechimi x ning
ikkita funksiyasi ko‘paytmasi y  u(x)  v(x) ko‘rinishida izlanadi. Bunda
funksiyalardan biri, masalan v(x) , tanlab olinadi va ikkinchisi (1.7)
tenglkdan aniqlanadi. Chiziqli tenglamani yechishning bu usuliga Bernulli
usuli deyiladi.
Ikkinchi bosqichda tenglamaning umumiy yechimi   P x dx y Ce ( )
ko‘rinishda izlanadi. Bunda C o‘zgarmas biror differensiallanuvchi
C(x) funk-siyaga tenglashtiriladi, ya‘ni C o‘zgarmas variatsiyalanadi.
Chiziqli differensial tenglamalarni yechishning ixtiyoriy
o‘zgarmasni variatsiyalash usulida yechimning ko‘rinishini yodda saqlash
shart emas, balki bu yechimni topish algoritmini bilish muhim: birinchi
bosqichda berilgan tenglamaga mos bir jinsli tenglama yechiladi va
ikkinchi bosqichda bir jinsli bo‘lmagan tenglamaning yechimi topilgan bir
jinsli tenglamaning yechimi ko‘rinishida izlanadi, buhda ixtiyoriy o‘zgarmas
o‘zgaruvchi miqdor deb hisoblanadi.
U holda (1.7) tenglamaning umumiy yechimi
     ( ( ) ) ( ) ( ) y e Q x e dx C P x dx P x dx
ko‘rinishda bo‘ladi.
13-misol. ( 1)3
1
2  

  y x
x
y tenglamani ixtiyoriy o‘zgarmasni
variatsiyalash usuli bilan yeching.
Berilgan tenglamaga mos bir jinsli tenglamani yechamiz:
y x
dy ln y  2ln | x 1| lnC, y  C(x 1)2 .
Berilgan tenglamaning yechimini
y  C(x)(x 1)2
ko‘rinishda izlaymiz.