Milliy universiteti jizzax filiali "amaliy matematika" fakulteti "iqtisodiyot" kafedrasi

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
MIRZO ULUG’BEK NOMIDAGI O’ZBEKISTON
MILLIY UNIVERSITETI JIZZAX FILIALI
“AMALIY MATEMATIKA” FAKULTETI
“IQTISODIYOT” KAFEDRASI

OLIY MATEMATIKA FANIDAN
MUSTAQIL ISHI

MAVZU: Birinchi tartibli differensial tenglamalar, O‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar, Yuqori tartibli differensial tenglamalar, Darajasi pasaytiriladigan tenglamalar.
Topshirdi:925-21- guruh talabasi A.MELIBOYEV
Qabul qildi: _______________

2022
REJA:

1. 
   Birinchi tartibli differensial tenglamalar
   
2. 
   O‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar
   
3. 
   Yuqori tartibli differensial tenglamalar
   
4. 
   Darajasi pasaytiriladigan tenglamalar
   

Birinchi tartibli differensial tenglamalar
Erkli o‘zgaruvchi, noma’lum funksiya va uning hosilalarini (differensiallarini) bog‘lovchi tenglamaga differensial tenglama deyiladi.Noma’lum funksiyasi bitta o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lgan differensial tenglama oddiy differensial tenglama deb ataladi. Differensial tenglamaga kiruvchi hosilalarning (differensiallarning) eng yuqori tartibiga differensial tenglamaning tartibi deyiladi. Birinchi tartibli oddiy differensial tenglama umumiy ko‘rinishda F(x, y, y) 0 kabi yoziladi, bu yerda x erkli o‘zgaruvchi, y noma’lum funksiya, y noma’lum funksiyaning hosilasi, F ikki o‘lchamli R2 sohada ikki o‘zgaruvchili funksiya. Agar tenglamani y ga nisbatan yechish mumkin bo‘lsa, tenglamay f (x, y) ko‘rinishda ifodalanadi, bu yerda f berilgan funksiya. Bu tenglamadandifferensiallar ishtirok etuvchi simmetrik shakl deb ataluvchiM(x, y)dx N(x, y)dy 0 tenglamaga o‘tish mumkin. differensial tenglamaning yechimi (integrali) deb, tenglamaga qo‘yganda uni ayniyatga aylantiradigan differensiallanuvchi y (x)
funksiyaga aytiladi. differensial tenglamaning umumiy yechimi deb, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi y (x,C) (bu yerda C ixtiyoriy o‘zgarmas)
funksiyaga aytiladi:
a) y ixtiyoriy o‘zgarmasning istalgan qiymatida differensial
tenglamani qanoatlantiradi; b) boshlang‘ich 0 0 y y x x shart har qanday bo‘lganda ham ixtiyoriy
o‘zgarmasning shunday C qiymatini topish mumkinki, y (x,C) yechim
boshlang‘ich shartni qanoatlantiradi, ya’ni ( , ) 0 0 y x C bo‘ladi.differensial tenglamaning umumiy yechimidan ixtiyoriyo‘zgarmasning tayin qiymatida hosil bo‘ladigan har qanday yechimgaxususiy yechim deyiladi.Differensial tenglama yechimining grafigi integral egri chiziq deb ataladi. differensial tenglama integral egri chiziqning har bir M(x, y) nuqtasida bu egri chiziqqa o‘tkazilgan urinmaning yo‘nalishini aniqlaydi. Tekislikning har bir nuqtasiga tg f (x, y) tenglik bajariladigan qilib kesma qo‘yilgan qismi differensial tenglamaning yo‘nalishlar maydoni deyiladi. Shunday qilib, differensial tenglamaga uning yo‘nalishlar
maydoni mos keladi. Bu jumla differensial tenglamaning geometric ma’nosini bildiradi. Differensial tenglamada uning umumiy yechimidan ixtiyoriy
o‘zgarmasning hech bir qiymatida hosil qilinishi mumkin bo‘lmagan yechim
maxsus yechim deb ataladi. Maxsus yechimning grafigi umumiy yechimga kirgan integral egri chiziqlarning o‘ramasi deb ataluvchi chiziqdan iborat bo‘ladi va u
sistemadan C ni yo‘qotish orqali topiladi. Bunda hosil bo‘lgan y g(x) funksiya differensial tenglamani qanoatlantirishi va (x, y,C) 0 oilaga kirmasligi kerak.
Matematika, fizika, kimyo va boshqa fanlarning turli masalalari differensial tenglamalar ko‘rinishidagi matematik modellarga keltiriladi. Massasi m ga teng moddiy nuqta v tezlikning kvadratiga proporsional bo‘lgan muhit qarshilik kuchi ta’sirida harakatini sekinlatmoqda. Nuqta harakat qonunining tenglamasini tuzing. Erkli o‘zgaruvchi sifatida moddiy nuqtaning sekinlashish
boshlanishidan hisoblanuvchi t vaqtni olamiz. U holda nuqtaning v tezligi
t vaqtning funksiyasi bo‘ladi, ya’ni v v(t) . Moddiy nuqtaning harakat qonunini topish uchun Nyutonning ikkinchi qonunidan foydalanamiz: m a F, bu yerda a v(t) harakatlanuvchi jism tezlanishi, F jismga harakat jarayonida ta’sir qiluvchi kuchlar yig‘indisi. Bu masalada F kv2 , bu yerda k  0 proporsionallik koeffitsiyenti
(minus ishora harakatning sekinlashishini bildiradi).
Shunday qilib, moddiy nuqtaning harakat qonuni
Mv kv2 0.
tenglama bilan aniqlanadi.
2-misol. Tekislikdagi egri chiziqning ixtiyoriy M nuqtasiga o‘tkazilgan
urinma, bu nuqtadan Oy o‘qqa parallel o‘tgan to‘g‘ri chiziq va koordinata
o‘qlari bilan chegaralangan OAMB trapetsiyaning yuzi S ga teng. M nuqta
harakat qonuni tenglamasini tuzing.
M(x; y) noma’lum (izlanayotgan) egri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi
bo‘lsin.