Milliy universiteti jizzax filiali "amaliy matematika" fakulteti "iqtisodiyot" kafedrasi

Yuqori tartibli differensial tenglamalar
Tartibi birdan yuqori bo‘lgan differensial tenglamaga yuqori
tartibli differensial tenglama deyiladi. n tartibli oddiy differensial tenglama
umumiy holda
F(x, y, y, y,..., y(n) )  0, n  2,
ko‘rinishda yoziladi, bu yerda x  erkli o‘zgaruvchi, y noma’lum funksiya,
y, y,..., y(n)  noma’lum funksiyaning hosilalari, F  (n 1) o‘lchamli
Rn1 sohada (n 1) o‘zgaruvchining funksiyasi.
y(n) ga nisbatan yechilgan n tartibli differensial tenglama
y(n)  f (x, y, y, y,..., y(n1) )
ko‘rinishda ifodalanadi, bu yerda f  berilgan funksiya.
n tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi deb, n ta ixtiyoriy
o‘zgarmasga bog‘liq bo‘lgan quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi
( , , ,..., ) 1 2 n y  x C C C funksiyaga aytiladi:
a) y n C ,C ,...,C 1 2 ixtiyoriy o‘zgarmaslarning istalgan qiymatida (2.2)
differensial tenglamani qanoatlantiradi;
b) boshlang‘ich , 0 0 y y x x   0 0 y y x x     , , 0 0 y y x x     …, 0
( 1) ( 1)
x x
y n y shartlar
har qanday bo‘lganda ham, ixtiyoriy o‘zgarmaslarning shunday n C ,C ,...,C 1 2
qiymatlarini topish mumkinki, ( , , ,..., ) 1 2 n y  x C C C yechim boshlang‘ich
shartlarni qanoatlantiradi, ya’ni
bo‘ladi.
Differensial tenglamaning , 0 0 y y x x   0 0 y y x x     , , 0 0 y y x x     …,
0
( 1) ( 1)
0


  n
x x
y n y boshlang‘ich shart bo‘yicha xususiy yechimini topish
masalasi Koshi masalasi deyiladi.
Teorema. Agar ( ; ; ; ;...; ( 1) )
0 0 0 0 0
x y y y y n nuqtani o‘z ichiga olgan D sohada
179
f (x, y, y, y,..., y(n1) ) funksiya ( 1) , , ,...,  

f xususiy hosilalari bilan
uzluksiz bo‘lsa, u holda y(n)  f (x, y, y, y,..., y(n1) )differensial tenglamaning
y n y shartlarni qanoatlantiruvchi
yechimi mavjud va yagona bo‘ladi.
xususiy hosila x  0, y  0 da uzluksiz.
Demak, berilgan tenglama x  0, y  0 da yagona yechimga ega
bo‘ladi.
Ayrim hollarda n tartibli differensial tenglamaning shunday
yechimini topish zaruriyati tug‘iladiki, bunda yechim qaralayotgan
kesmaning chetki nuqtalarida berilgan qiymatlarni qabul qiladi. Bunday
shartlar chegaraviy shartlar deyiladi. Tenglamaning chegaraviy shartlarini
qanoatlantiruvchi yechimni topish masalasi chegaraviy masala deyiladi.
Yuqori tartibli differensial tenglamalarni yechish usullaridan biri
tartibini pasaytirish usuli hisoblanadi.
y(n)  f (x) ko‘rinishdagi tenglama
O‘ng tomoni kvadraturada integrallanuvchi, uzluksiz f (x) funksiyadan
iborat bo‘lgan y(n)  f (x) tenglama bevosita integrallash orqali tartibi bittaga
past bo‘lgan va bitta ixtiyoriy o‘zgarmasni o‘z ichiga olgan differensial
tenglamaga keltiriladi. Integrallash yana n 1 marta bajariladi va berilgan
tenglamaning n ta ixtiyoriy o‘zgarmasni o‘z ichiga olgan umumiy yechimi
topiladi:
2-misol. 2
ln
x
y  x differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Tenglamaning o‘ng tomoni faqat x ga bog‘liq.