Milliy universiteti jizzax filiali "amaliy matematika" fakulteti "iqtisodiyot" kafedrasi

Darajasi pasaytiriladigan tenglamalar
Agar (4.4) tenglamaning o‘ng tomoni «maxsus ko‘rinish» deb ataluvchi
I. f (x) e P (x) n
 x  yoki II. f (x) e (P (x)cos x Q (x)sin x) n m
ko‘rinishda bo‘lsa, bu tenglamani yechishda uning y(x) xususiy yechimini
topishning ancha oson bo‘lgan nom’alum koeffitsiyentlar usulidan
foydalanish mumkin.
Noma’lum koeffitsiyentlar usulida avval (4.5) tenglama o‘ng tomoni
f (x) ning ko‘rinishiga mos xususiy yechimning noma’lum koeffitsiyentli
izlanayotgan shakli yozib olinadi, keyin u (4.4) tenglamaga qo‘yiladi va hosil
bo‘lgan ayniyatdan noma’lum koeffitsiyentlarning qiymati aniqlanadi.
I hol. (4.4) tenglamaning o‘ng tomoni f (x) e P (x) n
 x  ko‘rinishda
bo‘lsin, bu yerda P (x)  n n  0 darajali ko‘phad;   k 2  pk  q  0
xarakteristik tenglamaning r karrali ildizi.
Bu holda (4.4) tenglamaning xususiy yechimi
y e x Q (x) n
 x  r  (4.5)
ko‘rinishda izlanadi, bu yerda Q (x)  n koeffitsiyentlari noma’lum bo‘lgan
n  darajali ko‘phad.
II hol. (4.4) tenglamaning o‘ng tomoni f (x) e (P (x)cos x Q (x)sin x) n m
ko‘rinishda bo‘lsin, bu yerda P (x), Q (x)  n m n, m  darajali ko‘phadlar;
0 xarakteristik tenglamaning r karrali ildizi.
Bu holda (4.4) tenglamaning xususiy yechimi
y e x M x x N x x l l
 x  r  ( )cos  ( )sin (4.6)
ko‘rinishda izlanadi, bu yerda M (x), N (x)  l l koeffitsiyentlari noma’lum
bo‘lgan l  darajali ko‘phadlar, l  max(m,n).
(4.4) tenglamaning xarakteristik tenglamasi kvadrat tenglama bo‘lgani
uchun I holda r soni 0, 1, 2 qiymatlarni, II holda 0, 1 qiymatlarni qabul
qilishi mumkin. Bunda r soni 0 qiymatni  yoki   i xarakteristik
tenglamaning yechimi bo‘lmaganda qabul qiladi.
199
Izohlar: 1. (4.6) ifodani (4.4) tenglamaga qo‘ygandan keyin
tenglamaning chap va o‘ng tomonidagi bir nomdagi trigonometrik
funksiyalar oldidagi ko‘phadlar tenglashtiriladi.
2. (4.6) shakl P (x)  0 n yoki Q (x)  0 m bo‘lganda ham saqlanadi.
3. Agar (4.4) tenglamaning o‘ng tomoni I yoki II shakllarning
yig‘indisidan iborat bo‘lsa, xususiy yechim ham mos shakllarning yig‘indisi
ko‘rinishida izlanadi.
3-misol. y y y y f (x) i
iV        differensial tenglamaning umumiy
yechimini toping, bu yerda 1) ( ) 5 2 ; 1 f x   x 2) ( ) 4 ; 2
f x  ex
3) ( ) (4 6) ; 3
f x  x  e x 4) ( ) 2cos 6sin ; 4 f x  x  x
5) ( ) cos2 3sin 2 ; 5 f x  x  x 6) ( ) 5 (cos sin ). 6 f x  ex x  x
Berilgan tenglamaga mos xarakteristik tenglama 0 1 k  , 1 2 k  ,
, 3 k  i k  i 4 ildizlarga ega. Demak, berilgan tenglamaga mos bir jinsli
tenglamaning umumiy yechimi:
cos sin . 1 2 3 4 y  C  C ex  C x  C x
U holda berilgan tenglamaning umumiy yechimi
i
x
i Y  C  C e  C cos x  C sin x  y 1 2 3 4
bo‘ladi,  i y berilgan tenglamaning f (x) i funksiyaga mos xususiy yechimi.
Har bir f (x) i uchun tenglamaning i y xususiy yechimini noma’lum
koeffitsiyentlar usuli bilan topamiz.
1) f (x) 5 2x 1   funksiya uchun   0, n 1.   0 xarakteristik
tenglamaning bir karrali ildizi bo‘lgani uchun r 1. Birinchi darajali
noma’lum koeffitsiyentli ko‘phadning umumiy ko‘rinishi ( ) . 1 Q x  Ax  B
Bu holda xususiy yechimni
y  e0x x1 Ax  B  Ax2  Bx
1 ( )
ko‘rinishda izlaymiz.
y  2Ax  B 1 , 2 , 1 y A 0 1 1 y y IV  hosilalarni berilgan tenglamaga
qo‘yamiz:
2A  2Ax  B  5  2x .
x ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni tenglaymiz: