Мирзо улуг’бек номидаги о’збекистон миллий университети математика факултети “Амалий математика ва информатика” ёналиши

2-мисол.
соҳада

тўрни аниқлаймиз.
Фараз қиламиз, тўрнинг G соҳа чегарасидаги тугун нуқталари тўплами бўлсин, тўрнинг ички нуқталари бўлсин.
Пуассон тенгламасини аппроксимацияловчи айирмали схемани қараймиз:
, агар x_{ij h}
y_ij =0 , агар x_{ij h} (8)
Фараз қиламиз, H( ) ва H( ) мос равишда ва тўрларда аниқланган функцияларнинг чизиқли фазоси бўлсин. H⁰( ) - _h -да нолга тенг бўлган тўрда аниқланган функиялар тўплами берилган бўлсин.
фазо ўлчови тўрининг тугун нуқталари сони
(N₁-1)x(N₂-1) га тенг, (8) - масалага Н⁰( )дан Н( ) фазога акслантирувчи А оператор мос келади. Бу оператор
(9)
формулалар орқали аниқланади. (8)- айирмали схемани (1) - кўринишда А (9) - каби аникланган ва _ij формулалар орқали аниқланади.
(9)- тенглама хоссалари 21-маърузада батафсил ўрганилган.
Оператор тенгламаларнинг корректлиги.
(2) - оператор тенгламалар оиласини қараймиз, бу ерда A_h - H_h - чекли ўлчовли фазода ишловчи оператор. Фараз қиламиз H_h фазода ва мос равишда ечимни ва ўнг томонни ўлчаш учун киритилган нормалар бўлсинлар.(2)- тенглама коррект деб айтилади, агар ихтиёрий учун
1) (2) - тенгламанинг ечими мавжуд ва ягона;
2) h - га боғлиқмас шундай M₁>0 константа мавжудки, исталган учун
₍₁₀₎
тенгсизлик ўринли бўлса.
1-шарт операторнинг мавжудлигига, 2-шарт эса операторнинг h-га нисбатан текис чегарланганлигига эквивалент.
Коректликнинг иккинчи шарти айирмали схеманинг турғунлиги деб айтилади.

Икки қатламли айирмали схемаларнинг каноник кўриниши.

Стационар масалалар учун айирмали схемаларнинг оператор тенглама кўринишдаги умумий ёзуви, ностационар масалалар учун унча қулай эмаслиги маълум бўлди. Шунинг учун икки ва уч қатламли схемалар учун бошқа каноник кўринишда ёзиш фойдаланилади. Фараз қиламиз, олдиндагидек, ўлчови h-га боғлиқ бўлган H_h чекли ўлчовли чизиқли фазолар оиласи берилган бўлсин.
Конкрет схемаларга қўллаш пайтида H_h - фазо h қадам билан характерланадиган _h - фазовий турда аниқланган функциялар фазосидан иборат. [O,T] кесмада вақт бўйича қадамли

тўрни киритамиз ва тўрда аниқланган y(t_n) H_h функцияларни қараймиз.
y(t_n) H_h функциялар h ва параметрларга боғлиқ бўлишлари мумкин. y(t_n)=y_h, (t_n). Келгусида y_n=y_h, (t_n) каби белгилаймиз. Фараз қиламиз H_h фазода ишловчи В₁ ва В₂ чизиқли операторлар, ҳамда функциялар берилган бўлсинлар.
Икки қатламли айирмали схема деб,
(1)
биринчи тартибли айирмали оператор тенгламаларга айтилади.
(2)
тенглик ўринли бўлганлиги учун - тўрда ихтиёрий икки қатламли айирмали схемани
₍₃₎
y₀ H_h берилган кўринишда ёзиш мумкин.
Бу ерда A=B₁+B₂ ва B= B₁ чизиқли операторлар.
Икки қатламли айирмали схеманинг каноник кўриниши деб, унинг (3) шаклдаги ёзилишига айтилади.
Бирта айирмали схемани турли шаклда ёзиб бўладиган бўлганлиги учун, бир хил каноник кўринишда ёзиш, турли схемаларни таққослаш ва таҳлил қилишни осонлаштиради, схемани (3) шаклдаги ёзуви

дифференциал тенглама учун абстракт µоши масаласини эслатади. Конкрет айирмали схемалар ҳолида одатда А оператори фазовий А дифференциал оператор аппроксимациясини ифодалайди. В оператори эса у ёки бу айирмали схемани аниқлайди.
Шунинг учун (3)-шаклда ёзиш кўп ҳолларда аппроксимацияни текширишни соддалаштиради. Келгусида икки қатламли айирмали схемалар турғунлик шартларини А ва В операторлар ёрдамида тасвирлаш қулай эканлигига ишонч ҳосил қиламиз.
1-мисол. Бир ўлчовли иссиқлик ўтказувчанлик тенгламаси учун параметрли схемани қараймиз.
₍₄₎
(4) айирмали схемани (1) кўринишга келтирамиз. H_h фазо сифатида

тўрда аниқланган i=0 ва i=N да нольга тенг қиймат қабул қиладиган ҳақиқий функцияларнинг фазосини қараймиз. А операторни (иккинчи айирмали ҳосила операторини)
(5)
формула ёрдамида аниқлаймиз. y_n H орқали y_n=( )^T векторни белгилаймиз, бунда . Унда (4) айирмали схемани
(6)
кўринишда ёзиш мумкин.
Лекин бу ҳали каноник кўриниш эмас. Каноник кўринишда ёзиш учун (2) айниятдан фойдаланиш етарли, ундан B=E+ A , эканлиги маълум бўлади.
Шундай қилиб, (4) айирмали схема (3) каноник кўринишда ёзилади. Унда _n=0, A оператор (5) каби аниқланган ва B=E+ A .
2-мисол. 1-мисолда аниқланган тўрда
(7)

айирмали схемани қараймиз.
(7)- схемани (3)- каноник кўринишга келтирамиз. Энг аввал уни

ёки

кўринишда ёзамиз. Кейинги тенгламани 0.5h² - га бўлиб

айирмали схемани ҳосил қиламиз.
Бундан B=E , = 0,5h² ва эканлиги кўриниб турибди.
Айирмали схемаларнинг турғунлиги.
Стационар масалалар ҳолидагидек (3)- айирмали схема коррект деб айтилади, агар y_n=y_{h ,}(t_n) ечим: а) мавжуд, б) ягона, в) _n ва y₀ бошланғич берилганларга ва h га нисбатан текис узлуксиз боғлиқ бўлса.
Келгусида ҳамма вақт B^-1 оператор мавжуд деб ҳисоблаймиз (агар B=B_h, (t_n) бўлса B^-1, ,h, t_n ларнинг ҳар бир мумкин бўлган қийматларида мавжуд).
Турғунликнинг катъий таърифини берамиз. H_h фазода y(t_n) H_h ечимни ўлчаш учун ||.||_1h ва (t_n) ни ўлчаш учун ||.||_2h нормалар берилган деб ҳисоблаймиз.