Мирзо улуг’бек номидаги о’збекистон миллий университети математика факултети “Амалий математика ва информатика” ёналиши

1-таъриф Агар h, ,n ларга боғлиқ бўлмаган M₁>0 , M₂>0 константалар мавжуд бўлиб, ихтиёрий _h , H_h ўнг томонлар ва ихтиёрий y₀ H_h бошланғич берилганлар учун (3)- тенглама ечими учун
(10)
баҳолар ўринли бўлса, (3)- айирмали схема турғун деб айтилади. (10)- тенгсизлик орқали ифодаланган турғунлик ўнг томон ва бошланғич берилганларга нисбатан турғунлик деб айтилади. Худди шундай, ўнг томонга нисбатан турғунлик ва бошланғич берилганларга нисбатан турғунлик тушунчалари ҳам ишлатилади.
Бир жинсли
(11)
y₀ H_h берилган тенгламани қараймиз.
2-таъриф. (3)- айирмали схема бошланғич берилганларга нисбатан турғун деб айтилади, агар n, - ларга боғлиқ бўлмаган шундай M₁ мавжуд бўлиб ҳар қандай y₀ H_h бошланғич берилганлар учун (11)- тенглама ечими учун
(12)
ўринли бўлса.
Энди бир жинсли бўлмаган, лекин бошланғич шартлари нолга тенг бўлган (3)- тенгламани караймиз:
(13)
3-таъриф. (3) - айирмали схема ўнг томонга нисбатан турғун деб айтилади, агар h, n, ларга боғлиқ бўлмаган шундай M₂>0 доимий сон мавжуд бўлсаки, ҳар қандай учун (13) тенглама ечими учун
(14)
баҳо ўринли бўлса.
Айирмали схема чизиқли бўлганлиги учун, ўнг томонга ва бошланғич берилганларга нисбатан бир вақтда турғун бўлишидан унинг 1- таъриф маъносидаги турғунлиги келиб чиқади.
4-таъриф. (3) - айирмали схема бошланuғич берилганларга нисбатан текис турғун деб айтилади, агар шундай h, n, ларга боғлиқ бўлмаган >0 ва M₁>0 доимий сонлар мавжуд бўлиб ихтиёрий n = 0, 1,...,K-1 , K>1, ва барча y_n H_h лар учун (11) - биржинсли тенглама ечими y_n+1 учун ,
(15)
баҳо ўринли бўлса.
Айирмали схемалар назариясида константа сифатида =1, =1+c₀ ёки = e^c0 , h, , n - га боғлиқмас қийматлардан бири олинади. Масалан, агар, =e^c0 бўлса, унда ⁿ=e^{c0 n} =e^c0tn e^c0T , яъни М=e^c0Т T =К
(11) - биржинсли тенгламани
(16)
кўринишда ёзамиз.
Бунда
S=E- B^-1A, (17)
(3) - схеманинг ўтиш оператори деб айтилади. y₀ H_h ихтиёрий бўлганлиги учун бошланғич берилганлар бўйича (15) турғунлик шарти S оператор нормасининг доимий сон билан чегараланганлигига эквивалентдир:
₍₁₈₎
S оператор n-га боғлиқ бўлиши мумкин. Келгусида n-нинг мумкин бўлган қийматлари деб, шундай n=1,2,...,K-1 сонларга айтамизки K =T бўлсин. Бунда T>0 берилган сон 0 , K интилади.
1-теорема. Фараз қиламиз (3)-схема ||.||_1h нормада бошланғич берилганлар бўйича текис турғун бўлсин. Ундан (3)- схема ўнг томон бўйича ҳам турғун бўлиб, унинг ечими учун (10) баҳо ўринлидир. Бунда ва M₂=M₁T.
Исбот. (3) - тенгламани n=j учун

кўринишда ёзиб оламиз ва учбурчак тенгсизлигини қўллаймиз:

Бу тенгсизликни бир неча марта кўллаб
(19)
тенгсизликни ҳосил қиламиз.
Бошлағич берилганларга нисбатан текис турғунлик шартига кўра, барча мумкин бўлган n учун , хусусий ҳолда этамиз. Шунинг учун (19)-баҳодан

баҳога эга бўламиз. Исботни тугал бўлиши учун,

тенгсизлик ўринли эканлигини кўрамиз. 1 - теоремани инобатга олсак, айирмали схемаларни бошланғич берилганлар бўйича турғунлигини тадқик этиш билан чегараланиш кифоядир. Биз (15) - бахо, =1 бўлган ҳолни қараймиз.
Бошлангич берилганларга нисбатан тургунлик теоремалари
Фараз қиламиз H_h да (y, )_h скаляр кўпайтма ва норма киритилган бўлсин. Соддалик учун скаляр кўпайтма ва норма белгиларидаги h белгисини тушириб қолдирамиз.
H_h фазода ишловчи D-оператор мусбат аниқланган деб айтилади, агар барча y H_h учун (Dy,y)>0 бўлса. Агар D ўзига қўшма ва мусбат аниқланган бўлса, унда нормани киритиш мумкин. Бундай норма, D оператори ҳосил қилган энергетик норма деб айтилади. Келгусида ; D-мусбат (D-номанфий, яъни ) эканлигини билдиради. H_h ҳақиқий фазо деб ҳисоблаймиз.